Zurditorium

Hoy toca resolver otro problema lógico que dejé planteado hace bastante tiempo: el problema de los camaleones de colores. Y lo resuelvo precisamente hoy porque la semana pasada se planteó un problema similar en el decimocuarto desafío matemático de El País siendo ayer el día límite para mandar la solución. Eso sí, en el mío hay más preguntas y además tenéis que reconocer que mi enunciado con camaleones sociales en vez de con partículas es mucho más bonito .

Recordemos rápidamente el problema (ve a la entrada original si prefieres leerlo más adornado): tenemos 5 camaleones verdes, 11 camaleones azules y 16 camaleones rojos, todos ellos con la particularidad de que al juntar 2 camaleones de distinto color, ambos cambian al tercer color, por ejemplo, si juntamos uno rojo con un azul, cambiarán ambos a verde. ¿Cuántos camaleones azules podríamos conseguir con estos cruces? ¿Se podría conseguir que todos los camaleones fuesen del mismo color? Y ya que estamos, ¿cuántos camaleones tendría que haber de cada tipo para conseguir convertirlos todos a un color?

Veamos la solución. Este problema se va a resolver fácilmente con observar cómo evoluciona las diferencias del número de camaleones de 2 colores distintos. Es decir, denotemos por X al número de camaleones de color rojo menos el número de camaleones de color verde. ¿Qué le pasará a X cuando se crucen dos camaleones de distinto color?

• Si se cruza un camaleón rojo y un camaleón verde, tendremos un camaleón menos de cada uno de estos colores, y por tanto X no variaría.
• Si se cruza un camaleón rojo con uno azul, habrá un camaleón rojo menos y 2 camaleones verdes más. En este caso X disminuirá en 3 unidades.
• Si se cruza un camaleón azul con uno verde, tendremos 2 camaleones rojos más y 1 camaleón verde menos lo que hará que X aumente en 3 unidades.

Así que X irá aumentando o disminuyendo de 3 en 3 unidades. Esto hará que si X no es múltiplo de 3, entonces nunca podrá ser 0. En particular, para que todos los camaleones sean azules, X tendría que llegar a valer 0 (ya que 0 rojos - 0 verdes = 0), pero como inicialmente X es 11 que no es múltiplo de 3, esto no pasará nunca.

¿Cuántos camaleones azules podemos conseguir? Bien, sabemos que 32 no, pero ¿podremos conseguir 31? La respuesta es que sí, si inicialmente cruzamos un camaleón azul con uno rojo, y esto lo hacemos 4 veces obtendríamos 7 camaleones azules, 12 rojos y 13 verdes. Ahora cruzamos uno rojo con uno verde todas las veces que podamos, es decir, 12, y con esto ya nos quedaría 31 camaleones azules (y uno verde). Así que el máximo de camaleones azules que podemos conseguir es 31.

¿Podremos conseguir que todos los camaleones sean verdes? Razonando de la misma forma que el caso anterior llegaríamos a que no, porque el número de camaleones rojos menos el número de camaleones azules es 5 que no es múltiplo de 3. En este caso también podríamos conseguir 31 camaleones verdes, cruzando primero 2 verdes con 2 rojos (osea, un rojo y un verde 2 veces) y después 14 rojos con 14 azules.

¿Podremos conseguir que todos los camaleones sean rojos? Pues si hacemos azules menos verdes nos sale 6 que sí es múltiplo de 3 así que el razonamiento anterior no nos serviría para decir que no. ¿Podremos entonces? Pues de hecho sí ya que en general, podremos conseguir que todos los camaleones sean de un color si, y solamente si, la diferencia entre el número de camaleones de los otros 2 colores es un múltiplo de 3.

Veamos que esta afirmación es cierta. Ya sabemos que si la diferencia no es múltiplo de 3, no se puede conseguir. Solo nos queda ver que si la diferencia es múltiplo de 3, entonces sí se puede. Y la forma de conseguir esto es sencilla:

Primero se cruzarían todos los camaleones que podamos de los dos colores que no nos interesen, hasta que ya no podamos. En nuestro caso cruzaríamos 5 verdes con 5 azules y con esto se nos acabarían los verdes quedando 26 rojos y 6 azules.

Después del primer paso, de los 2 colores que no nos interesan, habrá uno agotado y el otro será un múltiplo de 3. Si dicho múltiplo de 3 no es 0, cojamos un camaleón de dicho color y crucémoslo con un camaleón del color que nos interese. Esto hará que en cada uno de los colores que no nos interesan, haya al menos 2 camaleones (en nuestro caso 2 verdes, 5 azules y 25 rojos) así que podemos coger 2 camaleones de cada uno de los colores que no nos interesen y cruzarlos. Con lo hecho en este párrafo conseguimos que el color agotado siga agotado y el color que no nos interesa disminuya en 3. Efectivamente en nuestro caso nos quedaríamos con 0 verdes y con 3 azules.

Y finalmente, como el color que no nos interesaba que no estaba agotado era múltiplo de 3, repitiendo e proceso anterior varias veces, en algún momento conseguiremos que se agote. En particular, en nuestro caso bastará con repetir el proceso una vez más. Y con esto queda demostrado que todos los camaleones podrán ser de un color si, y solamente si, la diferencia entre el número de camaleones de los otros dos colores es un múltiplo de 3.

Y para terminar hago un par de observaciones. La primera es que a pesar de lo que me he extendido, el razonamiento es muy sencillo, se basa solo en sumar y restar 3 a un número y que si no es múltiplo de 3, nunca será 0. Y la segunda observación es que usando el procedimiento explicado para conseguir que todos los camaleones sean del mismo color, fácilmente se ve que podremos conseguir que todos los camaleones salvo uno sean de dicho color.