Hace ya bastante tiempo, hablé del problema de los 2 ciclistas y la mosca y tenía pendiente poner la solución. En parte ya lo hice en esta entrada, pero como comentaba allí, ese caso era algo más sencillo y dejé pendiente para el lector el caso en que las velocidades de los ciclistas eran distintas. Recordemos antes de nada el enunciado del problema:

Dos ciclistas parten a la misma hora para encontrarse a mitad del camino, siendo la distancia que los separa entre sí de 100Km. El ciclista que llamaremos A va a una velocidad de 20 Km/h y el ciclista B a 10 Km/h. A la misma vez, una mosca parte desde el mismo que el ciclista A hacia el otro a una velocidad de 30Km/h. El encontrarse con el segundo ciclista se da la vuelta, al encontrarse con el primero se vuelve a dar la vuelta y así sucesivamente hasta que los 2 ciclistas se encuentran. ¿Qué distancia ha recorrido en total la mosca hasta que se encuentran los 2 ciclistas?

Empecemos por la solución sencilla. Los ciclistas se encuentran cuando pasan 100/30 horas (ya que la distancia que los separa es 100 Km y la velocidad a la que se acercan es de 30 Km/h en total) y como la mosca va todo el rato a 30 Km/h la distancia que recorre en total la mosca es

30 \times\frac{100}{30} =100 Km.

Ahora bien, aunque esta sea la forma fácil, lo normal es que cuando te plantees el problema intentes calcular cual es la distancia que va recorriendo la mosca cada vez que se encuentra con un ciclista y luego hacer la suma de todas esas distancias. Y así vamos a hacerlo, aunque sean infinitos términos vamos a ser capaces de hacerlo. Empecemos calculando las distancias que va recorriendo la mosca.

La mosca va a 30Km/h así que para saber cuanto recorre hasta llegar al primer ciclista, habrá que saber cuanto tarda en alcanzarlo. Como la mosca se mueve a 30Km/h y el ciclista a 10Km/h, en total se aproximarán a una velocidad de 40Km/h de donde se deduce que el tiempo transcurrido es

T_1=\frac{100}{40}=\frac{5}{2}\, \text{ (medido en horas)}

y por lo tanto la distancia recorrida es 30 \times T_1, es decir

D_1=30 \times \frac{5}{2}=\frac{150}{2} \,\text{ (medido en kil\'ometros)}.

Ahora tenemos que calcular cuanto recorre para encontrarse de nuevo con el primer ciclista. Para ello tendremos que calcular primero a qué distancia está de este. Pero esto es fácil, ya que si la mosca va a 30Km/h y el ciclista a 20, este habrá recorrido 2/3 de la distancia recorrida por la mosca por lo que están separados por D_1/3. ¿Cuánto tardará entonces en alcanzarle la mosca? Igual que antes, tenemos que dividir la distancia que los separa entre la suma de sus velocidades:

T_2=\frac{\frac{D_1}{3}}{50}=\frac{D_1}{150}

y por lo tanto la distancia recorrida será

D_2=30 \times\frac{D_1}{150}= \frac{D_1}{5}.

Lo dejo en función de D_1 porque me va a ser útil. Procediendo con el mismo razonamiento, la distancia que separa la mosca ahora del segundo ciclista es 2 D_2/3 y por lo tanto tendremos que

T_3= \frac{D_2}{60}

y

D_3=30\times T_3 = \frac{D_2}{2}=\frac{D_1}{10}.

Calculemos el siguiente y observemos como se comportan estas distancias. Razonando igual que al calcular T_2 y D_2

T4=\frac{D_3}{150}=\frac{D_2}{300}

y

D_4=30 \times\frac{D_2}{300}= \frac{D_2}{10}.

Esta vez no hemos obtenido que las distancias sean justo la distancia anterior multiplicada siempre por el mismo número como nos pasaba cuando la velocidad de los ciclistas era la misma. Sin embargo, cuando hemos visto que D_3=D_1/10, razonando de igual forma lo que hemos visto en realidad es que para n impar mayor que 1 se tiene que D_n=D_{n-2}/10. De igual forma, cuando hemos visto que D_4=D_2/10 en realidad hemos visto que para n par mayor que 2 se tiene que D_n=D_{n-2}/10.

Si sumamos las distancias impares tendremos que

D_1+D_3+D_5+D_7+\dots=D_1+\frac{D_1}{10}+\frac{D_1}{10^2}+\frac{D_1}{10^3}+\dots=D_1\times(1+\frac{1}{10}+\frac{1}{10^2}+\frac{1}{10^3}+\dots)

y por otro lado, si sumamos las distancias pares tenemos que

D_2+D_4+D_6+D_8+\dots=D_2+\frac{D_2}{10}+\frac{D_2}{10^2}+\frac{D_2}{10^3}+\dots=D_2\times(1+\frac{1}{10}+\frac{1}{10^2}+\frac{1}{10^3}+\dots).

Denotemos

S=1+\frac{1}{10}+\frac{1}{10^2}+\frac{1}{10^3}+\dots

Tendremos entonces que

D=D_1+D_2+D_3+D_4+\dots = D_1 S+ D_2 S = S(D_1+D_2)=S \frac{6 D_1}{5}=S 90.

Como ya comentamos la otra vez, la suma que aparece es una suma geométrica, es decir, una serie en la que cada término es igual al anterior multiplicado siempre por el mismo número (1/10 en nuestro caso). Hay una fórmula para calcular estas series, pero de nuevo vamos a realizar la suma sin usarla. Como estamos dividiendo todo el rato entre 10, multipliquemos S por 10 y veamos que pasa:

10\times S=10+1+\frac{1}{10}+\frac{1}{10^2}+\frac{1}{10^3}+\frac{1}{10^4}+\dots=10+S.

El 1 ha pasado a ser un 10, y se han desplazado los términos de la serie obteniendo finalmente que

10\times S=10+S

y despejando,

S=\frac{10}{10-1}=\frac{10}{9}.

y sin usar ninguna fórmula, hemos conseguido sumar la serie. Finalmente sustituyendo lo que vale esta serie en nuestra expresión que teníamos para D tendremos que

D=90S=90\times\frac{10}{9}=100

así que la mosca recorrió en total 100 kilómetros. Como veis, lo más complicado casi que ha sido calcular el término general de las expresiones del tipo D_n. Evidentemente es mucho más sencillo de la forma que hemos dicho al principio, pero como veis, con este camino también es posible resolver el problema.

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