Hoy os presento el que posiblemente sea el teorema más evidente en matemáticas y a la vez increíblemente útil: el principio del palomar. El enunciado es muy sencillo, si tenemos una cantidad de n palomas guardadas en m palomares con m<n, por fuerza debe de haber al menos un palomar que contenga varias palomas.

¿Hace falta que lo demuestre? Creo que no, cualquiera tiene que ver que evidentemente es cierto. Se puede generalizar un poco más y decir que de hecho en algún palomar habrá por lo menos \(\lceil\displaystyle{\frac{m}{n}}\rceil\) palomas donde \(\lceil\displaystyle{\frac{m}{n}}\rceil\) representa el número natural que hay justo por encima de m/n. Se cree que el primer enunciado de este principio se debe a Dirichlet en 1834, aunque bueno, yo estoy seguro de que alguien se tuvo que dar cuenta antes de esto, ¿no creéis? Pero Dirichlet es del primero que se tiene constancia, al menos de forma rigurosa. Supongo que nadie dudará que el mismo principio sería válido si cambiamos palomas por cualquier otra cosa y palomares por otro tipo de recipiente. Vamos a ver ahora unos cuantos ejemplos de cómo aplicar este principio tan sencillo para obtener resultados que aparentemente no parecen triviales:

Ejemplo 1:


En una fiesta con 100 personas, algunos invitados se dan la mano y otros no, pero puedo estar seguro de que al menos dos han saludado al mismo número de gente. ¿Por qué?.

Este ejemplo está sacado del artículo "En matemáticas no hay paro" que he leído precisamente hoy. Pulsa en mostrar para ver cómo llegar a esto.

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Ejemplo 2:


¿Puede contener un triángulo equilátero de 2 centímetros de lado 5 puntos de forma que no hayan 2 a distancia menor o igual que 1?

Este es mi ejemplo favorito. Si uno intenta encontrar esos puntos, seguro que enseguida se da cuenta de forma intuitiva que no va a ser posible. Pero de tener una idea intuitiva a comprobar que efectivamente es imposible hay una gran diferencia. Y para ellos vamos a usar de nuevo el principio del palomar. ¿No veis cómo? Quizá haga falta también poder, sabiduría y valor (los fans de la saga Zelda quizá ya sepan por donde voy!). Si aún no sabes cómo se haría, pulsa en mostrar.

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Ejemplo 3:


¡¡Hay 2 persona en el mundo que tienen exactamente el mismo número de pelos en la cabeza!! ¡¡Es más, seguro que podemos encontrar muchas más de 1000 personas con el mismo número de pelos en la cabeza!!

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Ejemplo 4:


Cojamos 6 números del 1 al 10. Entre los escogidos, seguro que hay 2 que sumen 11.

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Ejemplo 5:


Tenemos 100 monedas de oro que tenemos que repartir entre 14 trabajadores. Como no hay 2 que hayan trabajado exactamente lo mismo, las 14 pagas resultantes deberían de ser todas distintas. ¿Es esto posible sin necesidad de partir alguna moneda?

Uhm, este último podría ser uno de los típicos juegos de ingenio que pongo por el blog. Al que los vaya siguiendo, le recomiendo que intente sacarlo sin leer la solución.

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Ejemplo 6:


Si elegimos 100 números naturales al azar, siempre habrá 2 de ellos cuya diferencia sea múltiplo de 99.

Antes de seguir leyendo pensad un poco a ver si sabéis cómo aplicar aquí el principio del palomar. Si no se os ocurre, pensad en el mismo problema pero con 101 números y que la diferencia sea múltiplo de 100...

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Ejemplo 7:


Un hombre se toma durante el mes de abril todos los días (30 en total) por lo menos una aspirina. A lo largo del mes se ha tomado en total 45 aspirinas. Habrá alguna sucesión de días consecutivos en los que en total se habrá tomado 14 aspirinas.

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Como veis, en todos los ejemplos se ha aplicado el principio del palomar aunque en cada caso de una forma bien distinta. Podría poner muchísimos más ejemplos, ¿conoces alguno?

Con esta entrada participo una vez más en el Carnaval de Matemáticas. Gaussianos es en esta ocasión el anfitrión de la Edición 2.2.

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