Zurditorium

Mucha gente se pregunta que qué es un matemático. Y más aún, ¿qué puede investigar un matemático? ¿No está ya todo inventado? Mientras hacía mi tesis a mi me llegaron a preguntar que si había demostrado ya que 2 y 2 no son 4!

Aprovechando la iniciativa del Carnaval de Matemáticas en esta semana, acogida en su primera edición por el recomendado blog de Tito Eliatron Dixit, creo hoy esta entrada destinada a tratar de mostrar lo que es un matemático y que la gente desconoce.

Voy a intentar mostrar un poco lo que son las matemáticas y para ello voy a hablaros de conjuntos. ¿Por qué de conjuntos? Porque los conjuntos son a las matemáticas lo que el Big Bang al universo.

Ya hablé en una entrada anterior sobre conjuntos, de hecho se vio allí que no todos los conjuntos infinitos tienen el mismo número de elementos. Pero para empezar, ¿qué es un conjunto? Definir un conjunto realmente es más difícil de lo que parece, pero digamos de forma un tanto tosca, que un conjunto no es más que una colección de elementos. Por ejemplo la colección formada por todos los números naturales forma un conjunto. Podemos denotar un conjunto escribiendo entre corchetes los elementos de este. Por ejemplo

S={a,b,c}

es el conjunto formado por los elementos a, b y c y lo hemos llamado S. Como a es un elemento de S, se dice que a pertenece a S (no se dice que a está contenido en S, otro día comentaré la diferencia).

Hasta ahora sencillo, ¿no? Pues ahora vamos a ver por qué la definición de conjunto no puede ser tan sencilla como la que acabamos de dar. Los matemáticos en vez de quedarnos con una definición tan sencilla como la anterior, lo hacemos a través de una serie de axiomas que parecen complicarlo todo. ¿Y por qué hacemos esto? Porque va a ser necesario como vamos a comprobar con la paradoja de Rusell.

Para empezar, vamos a considerar la definición de conjunto dada antes, osea, una colección de cosas. Si consideramos ahora la colección formada por todos los conjuntos existentes, eso será un conjunto. Si es un conjunto, tendrá que ser un elemento del conjunto formado por todos los conjuntos, es decir, será un elemento de si mismo. Así que con esa definición podría pasar que un conjunto fuese elemento de sí mismo. ¿No os suena esto raro? Habrá quien diga que qué problema hay. Vale, vale, pues vamos con otro ejemplo.

Si aceptamos que hay conjuntos que pueden ser elementos de si mismos y conjuntos que no cumplan esto, ahora vamos a considerar el conjunto K formado por todos los conjuntos que no pertenecen a si mismos. Con la definición que estamos usando esto sería un conjunto, ¿no? Ahora pregunto yo, ¿será K un elemento de K?

-Si K no pertenece a K, K formará parte de la colección de conjuntos que no pertenecen a si mismos. Pero esta colección resulta que es K con lo que tendríamos que K pertenece a K. Resumiendo, si K no pertenece a K, entonces K pertenece a K. Esto es contradictorio.

-Si K pertenece a K, K pertenece a la colección de conjuntos que no pertenecen a si mismos y por lo tanto K no pertenece a sí mismo. Uy, de nuevo llegamos a algo contradictorio.

Entonces ¿qué? Llegamos a una paradoja, no puede pasar ni lo uno ni lo otro, pero debería de pasar alguna de las dos cosas, ¿no? La solución a este embrollo es que K no podrá ser un conjunto y por lo tanto nuestra definición inicial de conjunto no será válida. Al final necesitamos introducir una serie de axiomas para poder definir bien lo que son los conjuntos. Y realizando razonamientos a partir de esos axiomas es de donde surgen las matemáticas. Fijaos que en ningún momento he usado ningún número ni figura geométrica. Sin embargo todo el rato he estado hablando de matemáticas!!!

¿Qué son las matemáticas entonces? Según el Diccionario de la Real Academia Española:

Ciencia deductiva que estudia las propiedades de los entes abstractos, como números, figuras geométricas o símbolos, y sus relaciones.

¿Por qué no he empezado por aquí? Pues porque os habríais quedado con lo de números, figuras geométricas o símbolos y no os habríais dado cuenta de que se habla en general de entes abstractos, siendo los más conocidos los mencionados. Observad también lo de ciencia deductiva. Pues sí, esto es lo que comentaba antes, nuestra base serán los axiomas de la teoría de conjuntos y de ahí se va deduciendo todo.

Con esto termino. Ya os hablaré otro día sobre conjuntos de distintos tamaños, que como ya os comenté, podemos encontrar conjuntos infinitos de distintos tamaños (como el de los números naturales y el de los números reales). ¿Existirá un conjunto infinito más grande que cualquier otro? Ya responderé a esto de una forma matemática bien distinta a las matemáticas a las que estáis acostumbrados la mayoría, pero que sin embargo será compresible. Pero esto es otra historia que deberá ser contada en otra ocasión.