Zurditorium

Hace algo más de un mes, hablé del problema de los 2 ciclistas y la mosca y comenté que había una forma sencilla y otra complicada de resolverlo:

Dos ciclistas parten a la misma hora para encontrarse a mitad del camino, siendo la distancia que los separa entre sí de 100Km y yendo cada uno va a una velocidad de 10Km/h. A la misma vez, una mosca parte desde el mismo punto que uno de los ciclistas hacia el otro a una velocidad de 20Km/h. El encontrarse con el segundo ciclista se da la vuelta, al encontrarse con el primero se vuelve a dar la vuelta y así sucesivamente hasta que los 2 ciclistas se encuentran. ¿Qué distancia ha recorrido en total la mosca hasta que se encuentran los 2 ciclistas?

Bueno, en la versión que puse el otro día, las velocidades de cada ciclista eran distintas, lo que complica un poco el problema, pero es que creo que esta versión es más cercana a la que según la leyenda, le contaron a von Neumann. Según la leyenda le propusieron el problema a este matemático, que tras pensarlo un poco, dijo la solución correcta. "Muy bien, ya veo que ha usado la forma directa en vez de intentar calcular una suma infinita" o algo similar le respondieron. "No, lo he hecho con una suma infinita" o algo así fue la respuesta del matemático.

La forma sencilla de resolverlo aparece en los comentarios que hizo la gente cuando puse el primer enunciado, si queréis verlo, id allí. Pero aquí lo que vamos a ver es si es posible que von Neumann pudiese hacer de cabeza una suma infinita. Parece imposible, ¿no? Pues no lo va a ser, aunque esto tampoco va a querer decir que lo pudiese resolver. Bien, empecemos calculando las distancias que va recorriendo la mosca.

La mosca va a 20Km/h así que para saber cuanto recorre hasta llegar al primer ciclista, habrá que saber cuanto tarda en alcanzarlo. Como la mosca se mueve a 20Km/h y el ciclista a 10Km/h, en total se aproximarán a una velocidad de 30Km/h de donde se deduce que el tiempo transcurrido es

T1=100/30=10/3 (medido en horas)

y por lo tanto la distancia recorrida es 20 x T1, es decir

D1=20 x 10/3 = 200/3 (medido en kilómetros).

Ahora tenemos que calcular cuanto recorre para encontrarse de nuevo con el primer ciclista. Para ello tendremos que calcular primero a qué distancia está de este. Pero esto es fácil, ya que si la mosca va a 20Km/h y el ciclista a la mitad, este habrá recorrido la mitad de la distancia recorrida por la mosca por lo que están separados por D1/2. ¿Cuánto tardará entonces en alcanzarle la mosca? Igual que antes, tenemos que dividir la distancia que los separa entre la suma de sus velocidades:

T2=(D1/2)/30=D1/60

y por lo tanto la distancia recorrida será

D2=20 x (D1/60)= D1/3.

Lo dejo en función de D1 porque me va a ser útil. Procediendo con el mismo razonamiento, la distancia que separa la mosca ahora del segundo ciclista es D2/2 y por lo tanto tendremos que

T3= D2/60

y D3=D2/3=D1/3².

Si seguimos iremos obteniendo que D4=D3/3=D1/3³, D5=D4/3=D1/3⁴... así que la distancia total será

D=D1+D2+D3+D4+....=D1+D1/3+D1/3²+D1/3³+...

y sacando factor común podremos ponerlo como

D=D1x(1+1/3+1/3²+1/3³+1/3⁴...)

D1 sabemos lo que vale, y la suma que aparece es una suma geométrica, es decir, una serie en la que cada término es igual al anterior multiplicado siempre por el mismo número (1/3 en nuestro caso). Hay una fórmula para calcular estas series, pero como se puede olvidar os voy a eneñar un truco para calcularla. Como estamos dividiendo todo el rato entre 3, si

S=1+1/3+1/3²+1/3³+1/3⁴...

multipliquemos S por 3 y veamos que pasa:

3xS=3+1+1/3+1/3²+1/3³+...=3+S

El 1 ha pasado a ser un 3, y se han desplazado los términos de la serie obteniendo finalmente que

3xS=3+S

y despejando,

S=3/(3-1)=3/2.

y sin usar ninguna fórmula, hemos conseguido sumar la serie. Finalmente sustituyendo lo que vale esta serie en nuestra expresión que teníamos para D tendremos que

D=D1xS= (200/3)x(3/2)=100

así que la mosca recorrió en total 100 kilómetros. ¿Pensáis que es posible que von Neumann hubiese hecho también estos cálculos? ¿O se sabría el truco? Yo creo que es posible, pero no sé si la anécdota será cierta o no. Para el lector que haya llegado hasta aquí, voy a ser bueno y le voy a explicar la forma sencilla de resolver el problema y que así no necesite mirar los comentarios mencionados al principio. ¿Qué tiempo se tira la mosca dando vueltas? Pues el mismo que los ciclistas tardan en encontrarse. Como los separan 100Km y cada uno va a 10Km/h tardarán 5 horas. Estas horas multiplicadas por la velocidad de la mosca nos vuelve a dar los 100 Km. Mucho más sencillo así, ¿no?

El lector al que le guste los retos puede tratar de resolver el enunciado que di originalmente y haciendo sumas infinitas (el método sencillo es exactamente igual). Los datos eran que el primer ciclista iba a 20Km/h, el segundo a 10Km/h y la mosca a 30Km/h. Va a salir una suma algo más complicada que la que nos ha salido aquí, pero procediendo de una forma parecida también sale. ¡Suerte!