Zurditorium

A cada color le asignaremos un número del 0 al 3. Por ejemplo al rojo 0, al azul 1, al verde 2 y al amarillo 3. El primer preso lo que hará es asignar a cada casco que vea un número tal como hemos dicho y sumarlos todos. Después de esto dividirá el número obtenido entre 4 y de resto obtendrá un 0, 1, 2 ó 3. Y por último dirá el color correspondiente al resto obtenido. Él tendrá un 25% de posibilidades de librarse, pero con esto el resto de compañeros estarán salvados. ¿Cómo sabrá el resto de presos el color de su casco? Si yo soy uno de los otros presos primero sumaría los números asociados a cada casco que veo salvo el del primer preso. El número obtenido más el número asociado a mi casco será el número que ha obtenido el primer preso. Así que tengo que comprobar qué número entre 0 y 3 tengo que sumarle al número que he obtenido para que al dividir entre 4 me salga el mismo resto que al primer preso (sé el resto que ha obtenido porque sé qué color ha dicho). Y con esto sabré cuál es el número asociado a mi casco y por lo tanto el color de este. Así que con esta estrategia nos aseguramos que se libren al menos 99 presos.En el fondo, lo que estamos haciendo es trabajar con algo con lo que muchos pueden estar familiarizados, las congruencias. En el enlace que he puesto se explica perfectamente lo que son, pero dicho vagamente consiste en que en nuestro caso, trabajamos con el 0, 1, 2 y 3. Después del 3 volvería a ir el 0, después el 1, después el 2 y así entraríamos en un bucle. Por ejemplo 3+2 bajo congruencia módulo 4 sería 1 ya que al sumar 2 al 3 avanzamos 2 posiciones y después del 3 va el 0 y después del 0 el 1. Lo de sumar todos los números y calcular el resto al dividir entre 4 sería calcular la suma usando congruencias. Viendo esta solución con congruencias, a cada color le hemos asignado un número y calculamos la suma de 99 cascos módulo 4. Luego cada preso tendrá que calcular la suma de 98 cascos módulo 4. Si al primer número se le resta el segundo (módulo 4) obtendremos el número asociado a nuestro casco y podremos librarnos.

¿Y si son más colores? Pues se hace igual, a cada color se le asigna un número del 0 hasta el que haga falta dependiendo de cuantos colores hayan. Si por ejemplo hay 7 colores, pues de 0 a 6. Y luego se hará lo mismo pero con congruencias módulo 7 (el número de cascos) o dividiendo entre 7.

Es curioso que por muchos colores que hayan, siempre podremos salvar a 99 presos como mínimo. El aumento del número de colores sólo disminuyen las posibilidades de salvarse del primero.