¿Quién no ha oído hablar de la sucesión de Fibonacci? Bueno, mucha gente, seguro, pero no se puede negar que es una de las sucesiones más famosas en el mundo de las matemáticas. ¿La más famosa? Bueno, yo no diría tanto, a mí la primera sucesión que me enseñaron cuando era un mengajo fue la de los números naturales (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, etc.), pero aún así la de Fibonacci es muy famosa y tiene multitud de propiedades. Pero... ¿habéis oído hablar de los primos de Fibonacci? No, no me refiero a los hijos de sus tíos o sus tías, sino a los términos de dicha sucesión que son números primos...

Pero bueno, empecemos por el principio, diciendo primero en qué consiste dicha sucesión, ya que algunos lectores no la conocerán. Pues es muy sencillo, el primer termino de dicha sucesión será el 1, el siguiente será de nuevo el 1, y a partir de ahora los demás términos se van obteniendo de los dos anteriores, es decir, el tercer término será 1+1=2, el cuarto término será 1+2=3, el quinto 2+3=5, después 3+5=8 y así:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377,610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765\dots

Denotemos F_n al elemento en la posición n de dicha sucesión. Tendremos entonces que F_1=F_2=1 y para  n>2 tendremos que F_n=F_{n-1}+F_{n-2}. Bueno, en algunos sitios la sucesión empieza con F_0=0, pero vamos, empezar por 1 o por 0 no nos va a afectar mucho.

Si buscáis por internet podréis encontrar muchos datos curiosos de dicha sucesión. Por ejemplo juntando cuadrados cuyos lados vienen dados por dicha sucesión, se puede construir una espiral como la de la imagen de arriba, espiral que por cierto se llama espiral de Fibonacci. Otra curiosidad es que si hacemos el límite de F_n/F_{n-1} este será el famoso número aureo \displaystyle \varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}, pero es que esta no es su única relación con el número auero, también se tiene que

\displaystyle F_n=\frac{\varphi^n-(1-\varphi)^n}{\sqrt{5}}.

La primera vez que vi esta última relación me sorprendió mucho, cómo es posible que la expresión que acabo de poner dé un número entero, y encima coincida con la sucesión de Fibonacci. En cualquier caso, no es muy difícil comprobar que dicha igualdad es cierta, se puede hacer por inducción. Y llegar a ella sin conocerla se puede hacer por ejemplo sabiendo diagonalizar matrices.

Pero bueno, voy a centrarme como he dicho al principio en los primos de Fibonacci, que son simplemente los números primos que aparecen en dicha sucesión. Y es que si os fijáis en la sucesión, enseguida se ve que salen varios números primos: 2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597... ¿No os da la sensación de que aparecen números primos con demasiada frecuencia? A mí al menos me dio esa sensación. Vamos a observar un poco la sucesión, ¿qué términos son primos? Pues inicialmente tendremos los siguientes:

F_3=2, F_4=3, F_5=5, F_7=13, F_{11}=89, F_{13}=233\dots

Uhm, ¿no veis algo curioso? Fijaos en los índices, es decir, en los números n tales que F_n es un número primo. Los que tenemos arriba son 3, 4, 5, 7, 11\text{ y }13. ¿No veis alguna particularidad? Si nos olvidásemos del 4, todos los demás son números primos. No solo eso, es que hemos empezado por el primer primo impar y aún no nos hemos saltado ningún número primo mayor. ¿Se tendrá que si p es un número primo entonces F_p también lo es? Bueno, el 2 fallaría, pero ¿qué pasa con los siguientes?  Después del 13, los siguientes números primos son 17, 19, 23 y 29. Pues se tiene que

F_{17}=1597, F_{19}=4181, F_{23}=28657, F_{29}=514229.

¿Son números primos? Pues no, 3 de ellos sí, pero nos falla 4181=37\times 113. ¡Uy!, ¡casi!, no es primo pero solo tiene 2 factores. Una lástima, no tenemos una fórmula para obtener números primos. Aún así da la sensación de que hay muchos en dicha sucesión ¿no? ¿Habrá infinitos primos de Fibonacci? Pues..

Actualmente no se sabe si existen infinitos primos de Fibonacci.

De hecho lo que se ha observado es que la frecuencia de primos de Fibonacci disminuye bastante conforme avanzamos en la sucesión. Aunque de los 10 primeros númeos primos p solo haya 2 tales que F_p no sea primo, entre los 1229 primeros números primos, solo hay 29 tales que F_p es un número primo. El mayor primo de Fibonacci (que está en el puesto número 33) conocido hasta este momento (que yo sepa) es el F_{81839} que es un número con más de 17.000 dígitos. Como veis, en matemáticas no está todo inventado. Pero aún nos podemos hacer varias preguntas. Hemos visto que salvo F_4=3, los primos de Fibonacci que nos han ido saliendo tienen todos un índice primo. ¿Será esto verdad? Pues sí:

Todo primo de Fibonacci distinto a 3 tiene como índice un número primo.

O dicho de otra forma, si n no es un número primo y es distinto a 1 y 4, entonces F_n tampoco será un número primo. Y como sobre todo esto es de lo que va la entrada de hoy, no me voy a limitar a afirmarlo sino que os lo voy a demostrar de la forma más sencilla que se me ha ocurrido, y que sea autocontenida. Primero vamos a partir de la siguiente afirmación:

Si un número m divide a un número n entonces \boldmath F_m divide a F_n.

Más abajo os demuestro esta afirmación, pero primero vamos a ver cómo esta afirmación nos permite demostrar que todo primo de Fibonacci distinto a 3 tiene índice primo:

Tomemos un primo de Fibonacci F_n. Si n no es un número primo, existirá un número natural m\neq 1 y menor que n que divida a n, pero entonces por nuestra afirmación tendremos que F_m divide a F_n por lo que F_n no puede ser un número primo. Por tanto no puede pasar que n no sea un número primo...

¿Ha sido sencillo? Pues ojo, algún error tiene que tener la demostración ya que si estuviese bien, al ser F_4=3 un número primo deduciríamos que 4 es un número primo. Venga, antes de seguid leyendo pensad un poquito en cuál es el error y cómo solucionarlo... Os pongo en el siguiente spoiler cuál es el fallo y cómo solucionarlo:

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Nos quedaría solo probar que si m divide a n entonces F_m divide a F_n. Si buscáis por internet, se puede ver que se deduce a partir de la siguiente curiosa propiedad de la sucesión de Fibonacci. Para n, m dos números, denotemos por MCD(n,m) el máximo común divisor de dichos números, es decir, el mayor número entero que divida a ambos números, se tiene entonces que:

MCD(F_n,F_m)=F_{MCD(n,m)}.

A partir de esta propiedad sería inmediato probar lo que queremos. Pero claro, tendríamos que probar esta propiedad también. No es excesivamente complicado, pero como sale demasiado larga voy a probar por otro camino más corto. Aún así merecía la pena comentaros la relación de la sucesión de Fibonacci con el máximo común divisor. Voy a probar primero la siguiente propiedad:

F_{m+k}=F_{m-1} F_{k}+F_m F_{k+1},

donde m, k son números enteros positivos. Para ver esto, voy a fijar un número entero positivo k y voy a hacer inducción sobre el elemento m. Os acabo de poner un link sobre lo que es la inducción (matemática), pero vamos, no hace falta que lo leáis, lo vais a ver claro. La prueba os la pongo en el siguiente spoiler:

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Ya podemos ver que si m divide a n entonces F_m divide a F_n. Esta misma afirmación la reescribimos de la siguiente forma:

Si n=d\cdot m entonces F_m divide a F_n.

Y esto lo vamos a demostrar de nuevo por inducción, en este caso sobre d:

Paso 1: Claramente es cierto para d=1 ya que en ese caso n=m y por ello F_m=F_n.

Paso 2: Supongamos que la afirmación es cierta para cierto d, es decir F_m divide a F_{d\cdot m}.

Paso 3: Veamos qué pasa para n=(d+1)\cdot m. Utilizando la igualdad

 F_{m+k}=F_{m-1} F_{k}+F_m F_{k+1}

con k=d\cdot m se tiene que

F_{n}=F_{m+d\cdot m}=F_{m-1} F_{d\cdot m}+F_m F_{d\cdot m+1}.

Ahora bien, por hipótesis de inducción (Paso 2) se tiene que existe un número entero q tal que F_{d\cdot m}= q F_m y por tanto

F_n=F_{m-1}\cdot q\cdot F_m+F_m F_{d\cdot m+1}=F_m (F_{m-1}\cdot q+F_{d\cdot m+1})

y por tanto tenemos que F_m divide a F_n.

Espero que os haya resultado tan curioso como a mí.

PD: Con esta entrada participo en la Edición 4.12310 del Carnaval de Matemáticas cuyo blog anfitrión es Geometría dinámica.

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