De la cuenta de Flickr de Ferdi's World

Hace unos días planteé el problema de la oruga y el árbol mágico. Antes de dar la solución, recordemos brevemente en qué consistía el problema:

Una oruga intenta llegar al final de una rama que mide un metro. El primer día la oruga avanza 1cm pero mientras descansa por la noche, la rama aumenta un metro de forma homogénea. Al siguiente día la oruga recorre otro centímetro y de nuevo la rama vuelve a crecer por la noche otro metro y este mismo proceso se repite día tras día. ¿Alcanzará la oruga alguna vez el final de la rama?

Lo primero que pensaría cualquiera es que la oruga no llegaría nunca ya que parece que la rama va a crecer por delante mucho más de lo que esta avance siempre por lo que en vez de acercarse se irá alejando.

Ahora bien, estoy seguro de que más de uno habrá intentado hacer un programilla que estudie hasta donde llega la oruga cada día y la conclusión obtenida habrá sido que la oruga no llega nunca, o al menos a su programa no le ha dado tiempo a alcanzar el día que la oruga llega al final. Sin embargo, si en vez de 1cm diarios le dijéramos a nuestro ordenador que hiciese el mismo cálculo si la oruga anda 10cm diarios, cantidad que sigue pareciendo insuficiente para alcanzar el final de una rama que crece un metro cada noche, nuestro ordenador llegaría a la siguiente conclusión:

Si la oruga avanzase 10 centímetros diarios, tardaría en llegar al final de la rama 12367 días, o lo que es lo mismo, 33 años, 10 meses y 13 días.

¿No es sorprendente que en contra de nuestra intuición la oruga haya conseguido llegar al final de la rama? Pues bien, si le dijésemos a nuestro ordenador que, considerando que la oruga avanza un centímetro diario, nos calculase qué porcentaje de rama habría recorrido la oruga durante tanto tiempo como edad tiene el universo, la respuesta sería esto (o al menos este es el resultado que me dio ayer mi ordenador):

Durante 13.700 millones de años, el porcentaje de rama recorrido por la oruga que avanza 1cm diario sería igual a 29.818459...%

Vamos, que ni una tercera parte de la rama. Para hacer este cálculo, mi ordenador se ha tirado 12 horas, aunque optimizando un poco el algoritmo podría haber bajado a unas 9 creo. ¿Y si mi ordenador se tirase tanto tiempo como edad tiene el universo haciendo cálculos? ¿Podría determinar si la oruga llega al final? Bueno, la precisión de los ordenadores haría que a partir de un momento, la oruga no avanzase y se estancaría, aunque en realidad seguiría avanzando. Aún suponiendo que pudiera hacer los cálculos con precisión suficiente y sin disminuir la velocidad y que no se me cortase la luz, no conseguiría deducir que la oruga llega al final. Y tampoco se podría llegar a esa conclusión si pusiéramos a colaborar todos los ordenadores existentes en la tierra actualmente y los dejáramos calculando, durante tanto tiempo como edad tiene el universo. Bueno, claro, si la oruga nunca llega al final, por muchos cálculos que hagan estos ordenadores, nunca podrían decirnos que finalmente llega. Pero no obstante, si mis cálculos son correctos

Avanzando 1cm diario, la oruga llegará al final de la rama entre el día 1.5092688x10^43 y el día 1.5092689x10^43

Y no os imagináis cuan grande es este número. ¿Y si la oruga avanzase solo 1mm? ¿Y si todavía es más lenta? ¿Y si la rama en vez de crecer 1m diarios creciese 1km diario? Da igual, por muy lenta que vaya la oruga o muy rápidamente que crezca la rama, siempre llegará al final si le damos suficientes días.

¿No resulta bastante curioso? Para el que no se lo crea o para el que aún confiando en mi palabra quiera saber cómo se llega a esta conclusión, que no pare de leer aquí que ahora voy a explicar las cuentas.

¿Qué porcentaje de rama recorre la oruga al día?

 

Si la oruga el primer día recorre 1 centímetro y la rama mide 1m, la oruga recorrerá exactamente 1/100 parte de la barra. Por la noche, al crecer la rama, como lo hace de forma homogénea, seguirá en el mismo porcentaje de barra. El segundo día, la oruga recorrerá de nuevo 1cm pero la barra medirá 200cm así que el segundo día avanzará 1/200 de la rama. Al medir la rama el tercer día 300cm recorrerá 1/300 parte de la rama. Y si continuamos así, el día n la rama medirá n metros y como la oruga recorrerá 1cm, ese día recorrerá 1/(100n) de la rama. Así que sumándolo todo tenemos que el porcentaje de rama recorrido (siendo 1 el 100% será)

\displaystyle{\frac{1}{100}+\frac{1}{200}+\frac{1}{300}+\dots+\frac{1}{100n}=\frac{1}{100}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{100}\sum_{i=1}^n\frac{1}{i}}.

La oruga llegará al final de la barra cuando la expresión anterior llegue a 1, es decir, llegará el día n siendo n el menor número natural tal que

A_n=\displaystyle{\sum_{i=1}^n\frac{1}{i}}\geq 100.

En general, si tuviésemos una rama de longitud L centímetros que crezca L centímetros al día y una oruga que se desplace v centímetros al día, tendremos que la oruga llega al final de la rama cuando se cumpla que

A_n=\displaystyle{\sum_{i=1}^n\frac{1}{i}}\geq \frac{L}{v}.

Y resulta que la serie que nos sale converge a infinito, es decir, dado cualquier número, existe un numero natural n tal que A_n va a ser mayor que ese número. Y el hecho de que esta serie diverge (tiende a infinito) es un hecho de sobra conocido puesto que se trata de la serie armónica. Podría terminar aquí ya que en el enlace que acabo de poner se comenta el hecho de que la serie es divergente, pero para el que esté interesado, voy a mostrar que lo es y vamos a ver como aproximarla.

Divergencia de la serie armónica

Como ya hemos dicho, la serie armónica es una serie divergente, es decir

\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}=+\infty.}

No todas las sumas de infinitos términos convergen a infinito, pero en este casi sí. ¿Cómo podemos verlo? Pues de muchas formas. Voy a comentar 2, una usando integrales y otra con cálculo directo. Empecemos por los cálculos directos. Voy a coger 10 sumandos de la serie y voy a acotarlos por algo más pequeño:

\begin{array}{rcl}<br /> \displaystyle{\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+\frac{1}{13}+\frac{1}{14}+\frac{1}{15}+\frac{1}{16}+\frac{1}{17}+\frac{1}{18}+\frac{1}{19}+\frac{1}{20}} & \geq &\vspace*{3mm}\\\displaystyle{\frac{1}{20}+\frac{1}{20}+\frac{1}{20}+\frac{1}{20}+\frac{1}{20}+\frac{1}{20}+\frac{1}{20}+\frac{1}{20}+\frac{1}{20}+\frac{1}{20}} & = & \displaystyle{\frac{10}{20}}=0.5<br /> \end{array}

Como la suma de los 10 primeros términos es mayor que 2, tendremos que la suma de los 20 primeros términos es mayor que 2.5. Ahora voy a coger 100 términos posteriores a estos y voy a ver de la misma forma que suman más que 0.5:

\begin{array}{rcl}<br /> \displaystyle{\frac{1}{101}+\frac{1}{102}+\dots+\frac{1}{199}+\frac{1}{200}} & \geq &\vspace*{3mm}\\\displaystyle{\frac{1}{200}+\frac{1}{200}+\dots+\frac{1}{100}+\frac{1}{200}}& = & \displaystyle{\frac{100}{200}}=0.5<br /> \end{array}

Por lo tanto la suma de los 200 primeros términos de esta serie es mayor a 2.5+0.5=3. Razonando de la misma forma desde n=1001 a n=2000 veremos que la serie es mayor a 3.5. Y esto lo podremos repetir tantas veces como queramos desde n=10001 a 20000, desde n=100001 a 20000, etc. con lo que iremos viendo que la serie es mayor que 4, que 4.5, que 5, que 5.5... En fin, que repitiendo esto las veces necesarias podemos ver que esta serie será tan grande como queramos por lo que en definitiva, lo que acabamos de probar con unos cálculos sencillos es que esta serie es divergente.

Ya hemos visto que la serie diverge, pero lo hemos hecho con una acotación inferior un poco "salvaje", es decir, no nos sirve para aproximarnos a cuando va siendo la suma. Pues bien, eso es lo que vamos a hacer ahora. Observad la gráfica de la función 1/x:

Aproximaciones a la integral de 1/x

Podéis observar que la integral de 1/x entre 1 y 4 (en el dibujo lo pintado de amarillo incluyendo la parte naranja) es mayor que el área de los rectángulos anaranjados y menor al área de los rectángulos grises (los rectángulos grises incluyen la zona amarilla y anaranjada). El área de cada uno de estos rectángulos es fácil de calcular ya que sabemos la base de cada uno (que mide 1) y la altura. Así que del dibujo se deduce directamente que

\displaystyle{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\leq\int_1^4\frac{1}{x}dx=\log 4 -\log 1\leq 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}

Haciendo exactamente lo mismo pero integrando ahora a partir de un número natural m y terminando en otro número natural n tendríamos que

\displaystyle{\sum_{i=m+1}^n\frac{1}{i}\leq\log n-\log m\leq\sum_{i=m}^{n-1}\frac{1}{i}}.

Para demostrar que la serie es divergente nos basta con quedarnos con la desigualdad de la izquierda ya que si tomamos m=1, teniendo en cuenta que el logaritmo de 1 es 0 se tiene que

\displaystyle{\sum_{i=1}^{n-1}\frac{1}{i}\geq\log n\rightarrow\infty}

ya que \log(x) converge a infinito cuando x\rightarrow\infty. Además este sumatorio se va a comportar de una forma muy similar al logaritmo porque de la expresión

\displaystyle{\sum_{i=m+1}^n\frac{1}{i}\leq\log n-\log m\leq\sum_{i=m}^{n-1}\frac{1}{i}}

se deduce que

\displaystyle{\log n-\log m-\sum_{i=m+1}^n\frac{1}{i}\leq \sum_{i=m}^{n-1}\frac{1}{i}-\sum_{i=m+1}^n\frac{1}{i}=\frac{1}{m}-\frac{1}{n}}.

¿Cómo podemos usar ahora esto? Imaginad que queremos calcular la suma del primer billón de términos de la serie armónica. Con un ordenador tardaríamos unas cuantas horas. Si no tenemos tanto tiempo y queremos obtener una aproximación con un error menor a 10^{-4}, podríamos hacer lo siguiente

\displaystyle{\sum_{i=1}^{1 billon}\frac{1}{i}=\sum_{i=1}^{10000}\frac{1}{i}+\sum_{i=10001}^{1 billon}\frac{1}{i}\simeq\sum_{i=1}^{10000}\frac{1}{i}+\log{1 billon}-\log{10001}}

lo que podríamos calcular de forma muy rápida ya que el ordenador sería capaz de sumar los 10000 primeros sumandos y sumarle esos 2 logaritmos en menos de un segundo. Además la aproximación sería tan buena como queríamos ya que el error cometido sería menor a

\displaystyle{\frac{1}{10000}-\frac{1}{1 billon}<10^{-4}}.

Además sabemos que el error va a ser por exceso. Si en vez de calcular el primer billón quisiéramos calcular el primer trillón con la misma cota de error, bastaría usar la misma fórmula cambiando el billón con el trillón, es decir, nos bastaría con sumar 10000 términos para mantener dicha precisión. Si quisiéramos una precisión mayor tendríamos que sumar más elementos de la serie. Un ordenador actual puede sumar en 1 segundo más de 100 millones de elementos de la serie lo que sería suficiente para obtener una precisión de 10^{-8}. Bueno, también habría que tener en cuenta los errores que comete el ordenador al calcular los logaritmos, pero estos van a ser más pequeños aún. Y bueno, esto es justo lo que he usado para poder hacer los cálculos de cuantos días tardaría la oruga en alcanzar el extremo de la rama.

Esta entrada va a formar parte de la VIII Edición del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión será el blog Los Matemáticos no son Gente Seria.

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