Zurditorium

Hoy os propongo un nuevo problema que además me parece interesantísimo. Y encima una novedad, os voy a dar la solución esta misma semana así que ¡¡¡no esperéis para estrujar vuestras neuronas!!! Aunque claro, tampoco estáis obligado a leer la solución. Pues aquí viene:

De la cuenta de Flickr de Aitor Escauriaza

Erase una vez que se era una oruga un tanto especial que se paseaba por un árbol y llegó hasta una rama que medía un metro de la que al final colgaba lo que parecía ser un delicioso fruto. Nuestra estimada oruga estaba hambrienta puesto que llevaba un año sin comer así que decidió ir sin más dilación al encuentro de su exquisita presa. ¿Cómo es posible que la oruga llevase ya un año sin comer? No os asombréis estimados lectores, ya había avisado de que la oruga era un tanto especial. Debido a la desnutrición que sufría, el primer día solo fue capaz de avanzar un centímetro en dirección del jugoso fruto. Cansada de tan larga caminata se dedicó a dormir durante esa noche con tan mala fortuna de que al habitar en un árbol mágico, a este le dio por crecer durante la noche ya que por el día estaba muy ocupado haciendo la fotosíntesis. Así que cuando la oruga despertó descubrió que la rama era ahora un metro más larga. Afortunadamente la rama creció de forma uniforme así que ahora estaba a 2 centímetros del tronco del árbol en vez de tan solo uno, pero ahora vería el fruto mucho más lejos. Pero no solo creció la rama, sino que el fruto ahora parecía mucho más grande y jugoso y por ello nuestra amiga no cesó en el intento de alcanzar dicho fruto por lo que cada día, se daba una caminata de un centímetro intentando alcanzarlo. Desgraciadamente, nuestro caprichoso árbol mágico seguía creciendo de forma uniforme todas las noches haciendo que la rama fuese cada mañana un metro más larga y nuestra constante oruga todos los días avanzaba un centímetro en su lucha por alcanzar ese manjar.

¿Alcanzará la oruga alguna vez el final de la rama? Si no, ¿qué porcentaje de la rama será lo máximo que recorra? Y ya que estamos, añado otra pregunta. Hemos planteando el problema diciendo que la oruga avanza a una velocidad de un centímetro al día. ¿Qué velocidad mínima necesitará la oruga para llegar al fina de la rama? Por cierto, nuestra oruga como hemos dicho es muy especial así que podrá dedicarle tantos días a esta labor como queramos.

Aclaro un par de cosas por si alguien no ha entendido el enunciado bien. Consideremos que al oruga anda el primer día 1cm. Como la rama crece de forma homogénea y pasa de 1 metro a 2 metros, el centímetro que ha dejado atrás la oruga se volverá ahora 2 centímetros y los 99cm que le quedaban serán ahora 198cm. El siguiente día avanza otro centímetro así que le quedarán 3 centímetros por detrás y 197 por delante. La rama vuelve a crecer 1 metro y como medía dos, lo que ha hecho ha sido aumentar un 50% por lo que los 3 centímetros que se ha dejado atrás se convertirán en 4,5 y por delante le quedarán 295,5 centímetros. Y bien, la cosa seguiría así, espero que haya quedado claro qué significa que la rama crece de forma homogénea. Y lo otro que quería aclarar es... ¿habrá alguna velocidad con la que la oruga llegará hasta el final? Pues sí, si por ejemplo recorriese 50 centímetros diarios en tan solo 4 días llegaría.

Esta entrada va a formar parte de la VIII Edición del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión será el blog Los Matemáticos no son Gente Seria.

P.D. Este problemilla me lo propusieron en la carrera de matemáticas, creo que en una asignatura de primero. Comentándolo con otros profesores, uno me ha sugerido una variación bastante natural que seguramente incluiré por aquí otro día.