Zurditorium

¿Os suena la siguiente imagen?

Si soléis visitar este blog es posible que ya la hayáis visto en los comentarios puesto que es mi avatar. También lo uso de avatar en otros sitios como foros, twitter, etcétera. Y hasta donde yo sé, este avatar solo lo uso yo, cosa que no es rara puesto que me lo inventé yo por lo que no es muy conocido. Por ello, más de una vez me han preguntado que qué función es la que genera dicha superficie. Así que aprovechando que esta semana es de Carnaval Matemático (el anfitrión en esta ocasión es Tito Eliatrón, que fue además el anfitrión de la primera edición), os lo explico con todo detalle y con ello participo en dicho carnaval.

Para empezar, subámosnos a esta superficie y demos unas vueltas en círculo. ¿Cómo sería nuestro recorrido? Pues sería algo como esto:

Os suena, ¿verdad? Pues sí, se trata de la famosa función seno. Así que si damos vueltas en círculos por mi avatar realmente nos estaremos paseando por el seno (la función, no seáis malpensados). Así que lo que tenemos que hacer es colocar esta gráfica dando círculos. Pues una forma sería asignarle a cada punto del plano, el ángulo que forma el eje OX con la recta que va desde el punto elegido al origen de coordenadas y luego aplicarle la función seno. ¿Cómo calculamos el ángulo? Sabemos que el ángulo que se forma con el punto (x,y) tendrá tangente igual a y/x así que en un principio el ángulo vendría dado por

Pero aquí hay un pequeño problema y es que la función arcotangente solo nos da ángulos entre y por lo que para los puntos con x negativa nos va a fallar dando algo así:

Como se puede ver al dar vueltas iríamos de a , de golpe nos caeríamos hasta y volveríamos a . Si hacemos el seno de este recorrido, no nos saldrá nada parecido a lo que queríamos. Sin embargo podríamos multiplicar la función anterior por 2, así el salto sería de a lo que a la función seno no le molestaría por valer igual en ambos puntos. Y efectivamente, la función

quedaría así:

Ahora sí que no hay saltos. Bueno, en el (0,0) hay un punto de discontinuidad y eso hace que el programa que representa la función tenga problemas al dibujarlo ahí y se vean esos picos. Lo he dejado a propósito así para que el que intente representar esto con algún programa, no se asuste al salirle estos picos, que se podrán disimular mejor aumentando el número de puntos en los que calcular el valor de la función.

Observemos que al recorrer esta última superficie en círculos tendremos 2 subidas y 2 bajadas. Esto sucede porque recorremos 2 veces el intervalo . Si en vez de este intervalo, recorriésemos 2 veces el intervalo , tendríamos 10 cuestas. Y para conseguir esto nos basta cambiar el 2 por un 10 en la función anterior, es decir, si representamos la función

nos saldrá la siguiente gráfica:

Esta se va pareciendo ya al avatar, ¿no? De nuevo los picos en el centro no deberían de estar, para quitarlo tendríamos que hacer que el programa trabajase con más precisión. Bueno, ¿cómo conseguimos entonces el avatar? Pues lo que tendríamos que conseguir es que conforme nos alejemos del centro, la gráfica seno que da vueltas se viese desplazada. Para ello, lo que vamos a hacer es sumarle al ángulo un número que vaya creciendo conforme nos alejamos del centro. Y el número que le vamos a sumar va a ser que coincide con la distancia al centro elevada al cuadrado. Así que si representamos ahora la siguiente función (para x e y entre -2 y 2)

obtenemos

¡¡Uy!! ¡¡Casi!! ¡¡Nos ha salido girado el remolino en el sentido contrario al avatar!! Bueno, esto lo habríamos hecho si en vez de sumar lo hubiésemos restado o incluso si cambiamos y/x por x/y. Bueno, aquí podéis ver de nuevo los picos que se ven en el centro. Como ya he dicho, para arreglar los picos nos basta hacer que el programa trabaje con mayor precisión. Y con esto ya sabéis cuál es la gráfica que genera el avatar e incluso cómo la fui construyendo.

¿Y por qué pararnos aquí? Vamos a hacer ahora algunas variaciones más y esta vez no voy a escatimar en precisión y os voy a mostrar el resultado sin picos y sin las cajitas. La primera variación que voy a hacer va a consistir en aplanar la gráfica por el centro. Para ello la voy a multiplicar por algo muy pequeño alrededor del (0,0) y por algo más grande conforme nos vayamos alejando. Multipliquemos por ejemplo la función por . Si representamos ahora

nos quedaría

No sé qué pensaréis vosotros, pero a mi al menos me gusta mucho más cómo queda esta superficie. Y por último, voy a hacer una variación más a esta última. Recordad que sumamos para desplazar la función seno conforme nos alejamos del centro. Podríamos hacerlo al revés, que se desplace rápidamente conforme nos acercamos al centro, para ello podríamos sumar en vez de la expresión anterior algo así cmo que tiende a infinito al acercarnos a (0,0). Bueno, tampoco queremos que de tantas vueltas, así que vamos a hacer que no crezca tanto, así que en vez de eso voy a sumar que converge a 1/c al acercarnos al (0,0). Como c voy a tomar 0.04. Si tomo un número más pequeño, daría muchas más vueltas. Por tanto la función que nos quedaría ahora sería

con lo que tendríamos la siguiente gráfica:

¿Qué tal así? En fin, y con estas ideas podemos hacer más variaciones, podemos cambiar el 10 por otro número par, podemos hacer el 0.04 más grande o más pequeño y multitud de variaciones más.

Para terminar ya solo os indico algunos programas con los que se pueden hacer estos dibujos. Todos los que he mostrado, están hechos con el programa Mathematica. Este programa es caro así que en un principio dudo que lo tengáis instalado en vuestro ordenador (al menos legalmente). Yo lo tengo con licencia en la universidad. Pero hay otras alternativas. Hay un programa gratuito que también sirve para representar funciones, funciona muy rápido y permite bastante calidad (aunque no tanto como Mathematica). Se trata de SpaceTime (disponible para Windows y Mac, no sé si irá en Linux). Bueno, en un principio si te lo instalas, será para un periodo de prueba de 30 días salvo que lo registres. Pero es que el registro es gratuito. Y sin instalar nada, en WolframAlpha también podemos representar funciones de la misma forma que hace Mathematica (son los mismos creadores). La pega aquí es que no podemos indicarle parámetros como la cantidad de puntos a representar por lo que el resultado no es muy bueno, como se puede ver aquí.

Os incluyo en texto oculto los comandos que he utilizado en mathematica para generar las imágenes anteriores. Están generadas en Mathematica 4.0.

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