Aquí haces una observación que uno no tenía por qué haber visto, es lo mismo que darse cuenta de que para cargarse la z se debe hacer un cambio x=z + d tal que a*2*z*d= -b*z por lo que d=-b/2a

\displaystyle{\left(x+\frac{E}{2}\right)^2=x^2+Ex+\frac{E^2}{4}},

Aquí haces una observación que uno no tenía por qué haber visto, es lo mismo que darse cuenta de que para cargarse la z se debe hacer un cambio x=z + d tal que a*2*z*d= -b*z por lo que d=-b/2a

No es lo mismo decir uso este cambio y compruebo por qué funciona que decir voy a deducir qué cambio hace falta. Lo primero es mucho más sencillo y más irreal digamos, es decir, realmente no sabes de donde sale el cambio. De la segunda forma sí que se comprende mejor.

Hacemos un cambio de incógnita: x = z - b/2a

a(z - b/2a)^2 + b(z - b/2a) + c = 0
a(z^2 -bz/a + b^2/4a^2) + b(z - b/2a) + c = 0
az^2 -bz + b^2/4a + bz - b^2/2a + c = 0

Ahora empieza a comprenderse el motivo del cambio de variable, observese que la z se anula:

az^2 + b^2/4a - b^2/2a + c = 0
az^2 + b^2/4a - 2b^2/4a + c = 0
az^2 - b^2/4a + c = 0
az^2 = b^2/4a - c
az^2 = b^2/4a - 4ac/4a
az^2 = (b^2 - 4ac)/4a
z^2 = (b^2 - 4ac)/4a^2
z= +-sqrt(b^2 - 4ac)/2a

Ahora volvemos a sustituir x y z
x = z - b/2a
x = +-sqrt(b^2 - 4ac)/2a - b/2a
x = (-b +-sqrt(b^2 - 4ac))/2a

Las demostraciones de las fórmulas de tercer y cuarto grado me las se practicamente de memoria. la de cuarto grado requiere resolver un sistema no lineal de 3 incógnitas y puede ser algo lioso si no se explica bien, pero la de tercer grado es más facil. Primero hay que hacer el cambio x = z - b/3a para eliminar la z^2. Despues se cambia z = u + v y se añade una conveniente igualdad para u*v. al final te acaba quedando una ecuacion de segundo grado cuyas soluciones son u^3 y v^3 (hayas las raizes cubicas y las sumas, despues hayas x)

Si lo deseas puedo enviarte ambas demostraciones, si te apetece hacer un post sobre ello.

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saludos cordiales

Saludos.