Hoy os voy a enseñar a resolver la ecuación de segundo grado!!!! Ya, ya sé que todo el que haya estudiado un poco debería de saber (aunque sea de letras) resolverla con una formulita muy conocida, pero... ¿sabéis resolver dicha ecuación sin usar fórmulas? Por si alguno está perdido, las soluciones de la siguiente ecuación

\[Ax^2+Bx+C=0,\]

es decir, los valores de x que cumple la igualdad se obtienen con la siguiente fórmula:

\[\displaystyle{x=\frac{-B\pm\sqrt{B^2-4AC}}{2A}}.\]

Pero ahora pregunto yo... ¿sabéis por qué esa es la solución? ¿Cómo se puede deducir? Alguno podrá decir que basta sustituir la fórmula en la ecuación y comprobar que realmente se cumple. Sí, cierto, pero lo que pregunto yo es ¿cómo pudo deducir alguien esta fórmula? ¿No se podría resolver con algunos cálculos sin necesidad de memorizar la solución?

Recuerdo cuando un profesor nos contó en clase que hace tiempo (no sé exactamente cuando) la ecuación de primer grado

\[AX+B=0\]

se resolvía con la fórmula

\[\displaystyle{x=-\frac{B}{A}}.\]

Nos dijo que podía parecer un poco tonto memorizar la solución porque claro, basta con pasar la B a la derecha cambiando de signo y luego dividir ambos miembros de la igualdad entre A, pero lo mismo en un futuro puede pasar que la gente piense que es ridículo lo que hacemos en la actualidad de memorizar una fórmula para resolver la ecuación de segundo grado. La verdad es que no creo que esto pase, pero recuerdo que ese comentario se me quedó grabado ya que ¿cómo podemos resolver la ecuación de segundo grado si no es con la fórmula?

Era algo que hasta el momento nunca me había planteado (o no recordaba haberme planteado). Pues se puede y no es tan difícil. De hecho me di cuenta de la forma porque un día lo hice casi sin pensarlo, resolver una ecuación sin usar la fórmula. Y entonces me di cuenta de que lo que había hecho se podía hacer siempre, y que además debía de ser lo mismo que hizo el primero que dedujo la fórmula en cuestión. A continuación os lo explico.

Si A=0 sabemos como hacerlo ya que es lineal. Si B=0 nos queda una ecuación de la forma

\[Ax^2+C=0\]

con lo que despejando \(x^2\) como en el caso de la ecuación de grado 1 y tomando luego raíces, se resuelve. Imaginemos que tenemos una ecuación de la forma

\[A(x+D)^2+C=0.\]

Para resolverlo podríamos resolver el cuadrado, operar hasta dejarlo como una ecuación de segundo grado y tras ello aplicar la fórmula. Pero en realidad es mucho más sencillo ya que podremos despejar primero \((x+D)^2\) como si fuera una lineal obteniendo entonces que

\[\displaystyle{(x+D)^2=-\frac{C}{A},\quad x+D=\pm\sqrt{-\frac{C}{A}},\quad x=-D\pm\sqrt{-\frac{C}{A}}}.\]

Pues con esta misma idea podemos resolver la ecuación de segundo grado general. Si A=0 la ecuación sería lineal. Si A no es 0, podemos dividir toda la ecuación entre A obteniendo una ecuación de la forma

\[x^2+Ex+F=0\]

con E=B/A y F=C/A. Bien, observemos ahora que

\[\displaystyle{\left(x+\frac{E}{2}\right)^2=x^2+Ex+\frac{E^2}{4}},\]

que es la misma expresión pero con el término independiente distinto. Con esto en la cabeza, lo que podemos hacer ahora es reescribir

\[0=x^2+Ex+F=\displaystyle{\left(x+\frac{E}{2}\right)^2-\frac{E^2}{4}+F},\]

así que despejando x+E/2 tendremos que

\[x=\displaystyle{-\frac{E}{2}\pm\sqrt{\frac{E^2}{4}-F}=\frac{-E\pm\sqrt{E^2-4F}}{2}}\]

con lo que ya tendríamos el valor de x. Y efectivamente con esto hemos deducido la fórmula del principio ya que si sustituimos E por B/A y F por C/A tenemos que

\[x=\displaystyle{\frac{-\frac{B}{A}\pm\sqrt{\frac{B^2}{A^2}-4\frac{C}{A}}}{2}=\frac{-\frac{B}{A}\pm\sqrt{\frac{B^2-4AC}{A^2}}}{2}=\frac{-B\pm\sqrt{B^2-4AC}}{2A}.}\]

Se que a muchos no les gustan que se usen tantas letras en matemáticas. Pues bien, hagamos lo mismo con un ejemplo con números. Cojamos por ejemplo la ecuación

\[2x^2+4x-6=0.\]

Dividimos primero entre 2 y obtenemos

\[x^2+2x-3=0.\]

Usando el desarrollo del cuadrado de x+1 tenemos

\[0=x^2+2x-3=(x+1)^2-4\]

y por lo tanto

\[(x+1)^2=4,\quad x+1=\pm 2,\quad x=-1\pm 2\]

obteniendo así las soluciones 1 y -3. Como podréis observar, tampoco ha sido complicado resolver la ecuación así, ¿no? Como curiosidad os comento que también existen fórmulas para resolver ecuaciones de tercer y cuarto grado, pero son más largas y bastante más complicadas de deducir. Y no, no existen fórmulas para ecuaciones de grado 5 o superior. Y no, nunca existirán. ¿Por qué? Pues porque está matemáticamente demostrado que no se pueden obtener dichas fórmulas, que no existen.

Esta entrada forma parte de la V Edición del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión esta semana es Byron David con su blog Ciencia.

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