Hoy os voy a hablar del cubo de rubik. Supongo que todos sabéis lo que es, ¿no? Ese cubo con pegatinas de colorines que podéis ver en la foto de la izquierda, que se puede mezclar y que parece imposible tratar de resolver. Parece ser que dicho juguetito se está poniendo de nuevo de moda y bueno, por mi parte tengo que reconocer que le he echado unas cuantas horas, incluso tengo una página dedicada a él, www.rubikaz.com, que tiene ya casi 10 años, creada cuando parecía que dicho cubo iba a acabar en el olvido. Más de una vez me ha pasado que alguien al verme con el cubo de rubik surge alguna conversación de este estilo:

— Pues yo una vez lo hice todo menos una pieza que estaba mal.
— ¿Que estaba mal? ¿Estaba girada o es que no estaba en su sitio?
— No, no estaba girada, es que no estaba en su sitio.
— ¿Pero había otra mal o solo esa?
— Solo esa.
— Pues no es posible ya que si esa pieza no estaba en su sitio, en el lugar donde debería de estar también habría una pieza que no estaba en su sitio, ¿no?
—...

También me han llegado a decir cosas como:

— Pues yo una vez conseguí resolver 5 caras.
— Uhm, pero ¿la sexta no la hiciste?
— No, la sexta no, solo me faltó esa.
— Pero entonces, si por ejemplo la cara que te faltaba era la roja, ¿dónde estaban las pegatinas rojas en el cubo? No podían estar en ninguna de las otras 5 caras porque si están resueltas tienen las pegatinas de su color, así que si haces 5 caras, la sexta sale sola.
—...

Eso sí, a veces la conversación empieza así:

— Pues yo una vez hice el cubo entero a falta de 2 piezas que tenía que intercambiar.
— Eso no es posible.
— ¿Por qué no es posible?
— Pues porque...

Y aquí ya depende. Si estoy hablando con un matemático por ejemplo, suponiendo que se acuerda de las nociones básicas del grupo de permutaciones, le podría decir:

—Pues porque al partir del cubo resuelto, tanto para mezclarlo como para resolverlo, cada vez que mueves una cara fíjate que la permutación de piezas es par (son dos 4-ciclos) y como la composición de permutaciones pares es una permutación par, la posición del cubo de rubik nunca podrá ser una permutación impar, como es el caso de tener 2 piezas intercambiadas.

Así que querido lector, si tienes las nociones suficientes, quizá con lo que acabas de leer te ha quedado totalmente claro por qué no se puede intercambiar 2 piezas en el cubo de rubik dejando el resto en la misma posición. Y si no, pues lo que acabo de decir te habrá sonado a chino. Si te ha sonado a chino no te preocupes, porque así le va a pasar a la mayoría de los lectores y por otro lado, esta entrada está dedicada a que lo entiendas, voy a explicar con todo detalle el motivo por el que no pueden quedarte solo 2 piezas a intercambiar en el cubo de rubik. Va a ser una entrada larga, pero os aseguro que va a ser totalmente comprensible.

Antes de nada, y para el que no esté muy familiarizado, ¿a qué me refiero por piezas? No, no a las pegatinas sino piezas, lo primero que hay que hacer para intentar resolver el cubo es darse cuenta de que intercambiamos piezas, no tan solo pegatinas. Hay 3 tipos de piezas:

  • Los vértices, que son la piezas con 3 pegatinas y que "viven" en 3 caras. Hay 8 en total.
  • Las aristas, que son las piezas que tienen 2 pegatinas, las que están en los centros de cada lado dle cubo. Hay 12 en total.
  • Los centros, que son las piezas centrales de una cara y tienen una sola pegatina, habiendo 6 en total.

Pues bien, al mezclar o resolver un cubo de rubik, lo que hacemos es girar las caras y al girar cada cara estamos moviendo 4 aristas y 4 vértices, los centros quedan fijos. Si alguien dice que los centros se mueven al girar una capa central, sí, es cierto, pero girar la capa central es equivalente a girar las dos capas laterales a dicha capa, y si lo vemos de esa forma, los centros estarían fijos. Así que las piezas que se van a ir permutando son los vértices por un lado y las aristas por otro, claramente no podemos intercambiar piezas de distinto tipo. Estas piezas también se podrán ir girando, pero no nos vamos a meter en eso ahora. Pero...

¿Qué quiere decir permutar? Pues bien, una definición no formal, pero que podríamos considerar precisa, es que una permutación es intercambiar la posición de unos objetos (formalmente sería una aplicación biyectiva de un conjunto finito en si mismo). Vamos a ver un ejemplo. En la siguiente tabla considero como objetos las letras A, B, C, D, E, F, G y H una al lado de otra en la primera fila. Las vamos a intercambiar mostrando en la segunda fila el resultado de la permutación:

A B C D E F G H
B D F H C E A G

 

Lo que ha pasado es que B está en la posición de A, D en la de B, F en la de C, H en la de D, C en la de E, E en la de F, A en la de G y G en la de H. Esta permutación la vamos a llamar P1. Pues esto es lo que hacemos cada vez que hacemos una serie de movimientos con el cubo de rubik, permutar piezas. Así que al aplicar unos movimientos se haría una permutación, al hacer otros, obtendríamos una permutación. ¿Y qué pasa cuando aplicamos una permutación y luego otra? Pues que obtenemos una nueva permutación que llamaremos el producto de dos permutaciones. Veamos un ejemplo. Consideremos una nueva permutación que llamaremos P2:

A B C D E F G H
D B C F A G H E

 

¿Quién será ahora P1*P2? Pues bien, en la primera permutación, A va a la posición de G, y en la segunda permutación G va a la posición de F. Por tanto en el producto A irá a F. Si miramos B, en la primera permutación va a la posición de A que en la segunda permutación va a E. Por tanto B irá a E. Si vamos haciendo esto con todas las letras, al final nos quedará que P1*P2 es

A B C D E F G H
H D F E B A G C

 

Bueno, ya vais viendo cómo se pueden ir estudiando los movimientos del cubo de rubik con permutaciones (aunque en los ejemplos estamos poniendo permutaciones de 8 elementos cuando el cubo tiene más de 8 piezas). Fijémonos ahora en P1 y veamos qué pares de piezas han intercambiado el orden. Para que no subáis os pongo aquí de nuevo la permutación.

A B C D E F G H
B D F H C E A G

 

Pues bien, inicialmente B estaba a la derecha de A, sin embargo tras la permutación A está a la derecha (varias posiciones a la derecha de B). Por tanto A y B han intercambiado orden. Sin embargo hay otras parejas que no han intercambiado orden, como por ejemplo B y D. ¿Cuántas parejas han intercambiado el orden? Pues A con B, A con D, A con F, A con H, A con C, A con E, C con D, C con F, C con H, E con F, E con H y H con G. En total hay 12 intercambios de orden que es un número par.

Diremos que una permutación es par cuando tenga un número par de intercambio de orden, y diremos que es impar cuando el número de intercambio de orden es impar.

Vaya, ya empezáis a entender algunas de las cosas que parecían chino, ¿no? Bueno, todavía nos queda explicar algunas cosas más. Hay un tipo particular de permutaciones que nos van a ser muy útiles, los ciclos. ¿Qué es un ciclo? Pues un ciclo es una permutación en la que todos los elementos que se van a mover lo hacen "de forma cíclica", es decir, que si ves a donde se mueve un elemento, ves a donde va después de aplicar la permutación de nuevo y vas viendo por donde va pasando el elemento cada vez que se aplique la permutación, pasará por todas las posiciones que se mueven. Si no queda claro, tranquilos, veamos un ejemplo. Recordemos la permutación P2:

A B C D E F G H
D B C F A G H E

 

El elemento B y C no se mueven, pero ¿qué pasa con el resto? Pues A va a la posición E, E va a la posición H, H va a la posición G, G va a la posición F, F va a la posición D y D vuelve a la posición A. Vamos, que se mueven de forma cíclica:

A\to E\to H\to G\to F\to D\to A.

Como se pasa por todos los elementos salvo los fijos, se tiene que P2 es un ciclo. Como en el ciclo intervienen 6 elementos podemos especificar esto diciendo que además es un 6-ciclo. Para expresar un ciclo, en vez de usar la tabla, podemos hacerlo como hemos hecho antes con las flechitas. Para simplificar la notación podemos quitar la A final ya que sabemos que el ciclo termina por donde empieza y además eliminaremos las flechitas añadiendo unos paréntesis a los lados. Vamos, que el ciclo P2 se puede escribir como

P2=(A E H G F D)

 

Más sencilla esta escritura, ¿no? Además toda permutación se puede poner como producto de ciclos disjuntos, bueno, salvo la permutación identidad, la que deja todos los elementos fijos, aunque en este caso podríamos decir que es el producto de 0 ciclos. Disjuntos quiere decir que afectan a distintos elementos. ¿Cómo podemos descomponer una permutación como producto de ciclos disjuntos? Pues muy fácil, solo tenemos que coger una permutación y ver el recorrido que va haciendo cada letra. Por ejemplo en P1 A pasa por G, luego H, luego D y luego B, volviendo entonces a A. Y si nos fijamos en las 3 letras restantes, C va a E, luego a F y vuelve a C, con lo que se tiene que

P1=(A G H D B)*(C E F).

 

Y no solo los ciclos nos van a permitir escribir las permutaciones de forma más sencilla, sino que además nos van a ser muy útiles para saber la paridad de una permutación. ¿Cómo? Pues gracias a los 2-ciclos. Imaginad que tenemos una permutación P cualquiera y la multiplicamos por un 2-ciclo, por ejemplo (C F). Pues bien, al hacer esto, las letras en las posiciones C y F se intercambian con lo que se genera un intercambio de orden (o se deshará en el caso de que ya estuviesen intercambiados). Además, C intercambiaría el orden con D y E, pero es que F también intercambiaría orden con D y E. Así que si contamos los intercambios de orden que se han producido, en total habrá 5, algunos intercambios de orden serán nuevos y otros habrán deshecho intercambios. En cualquier caso, lo que queda claro es que si P era una permutación par, al hacer 5 nuevos intercambios de orden, P*(C F) se habrá vuelto impar e igualmente. Igualmente, si P era impar, esos 5 intercambios harían que P*(C F) fuese una permutación par. Así que:

Multiplicar por un 2-ciclo cambia la paridad de una permutación.

Además, como un 2-ciclo es claramente una permutación impar, al multiplicarlo por otro 2-ciclo se volverá par. Si lo multiplicamos por otro (3 en total) se volverá impar, si añadimos otro (4 en total) será par, y así. Por ello tenemos que

El producto de n 2-ciclos tiene la misma paridad que el número n.

¿Veis ya la importancia de los 2-ciclos? Pero es que todavía es más, cualquier ciclo se puede poner como producto de 2-ciclos. Veámoslo con un ejemplo, el de un 4-ciclo (que es el que nos va a salir en el cubo de rubik). Tenemos por ejemplo que

(A B C D) = (D C)*(C B)*(B A).

 

¿De verdad? Pues claro. La de la izquierda lleva A a B. ¿Y la de la derecha? El primer 2-ciclo no afecta a A, el segundo tampoco, y el tercero lleva A a B. Por ahora bien. ¿Y con B? Debería de ir a C. Pues el primer 2-ciclo no afecta a B, el segundo lleva B a C y una vez en C el tercer 2-ciclo no le afecta. ¿Va C a D? Pues sí, porque así lo hace el primer 2-ciclo y los otros 2 no afectan a D. ¿Va D a A? Claro, el primer 2-ciclo lleva D a C, el segundo C a B y el último B a A. Así que ciertamente se tiene dicha igualdad. Y se puede hacer lo mismo con cualquier ciclo, otro ejemplo:

(B D F A C G) = (G C)*(C A)*(A F)*(F D)*(D B).

 

Es más, si nos fijamos en la descomposición que estamos haciendo, todo n-ciclo se puede poner como el producto de (n-1) 2-ciclos. Y de aquí deducimos que un n-ciclo tiene la misma paridad que n-1.

Recapitulemos un momento, toda permutación se puede poner como producto de ciclos y todo ciclo se puede poner como producto de 2-ciclos. Por tanto:

¡Toda permutación se puede poner como producto de 2-ciclos!

Así que para estudiar la paridad de una permutación, podemos descomponerla en 2-ciclos y contar cuantos tenemos. Observad ahora otra cosa, si tenemos dos permutaciones impares, que se descomponen por ejemplo en n y m 2-ciclos (con n y m impares), el producto de estas dos permutaciones lo podremos descomponer en el producto de n+m 2-ciclos, los n de la primera y los m de la segunda. Así que el producto de estas 2 permutaciones tiene que ser una permutación par ya que n+m lo es. Razonando así con dos pares o con par e impar obtenemos:

  • El producto de 2 permutaciones pares es par.
  • El producto de 2 permutaciones impares es par.
  • El producto de una permutación par por otra impar es impar.

¡Pues ya está! Con toda esta larga explicación, pero sencilla, ya podemos ver por qué no se pueden intercambiar 2 piezas en el cubo de rubik. ¿Por qué? Veamos cualquier posición del cubo de rubik como una permutación de las piezas.

  1. Nada más comprarte tu cubo de rubik, cada pieza está en su sitio así que equivale a la permutación identidad que es PAR.
  2. Todos los movimientos que hagas con el cubo de rubik se pueden reducir a varios giros de 90 grados de las distintas caras.
  3. Cuando giras una cara 90 grados, en realidad estás intercambiando 4 esquina de forma cíclica y 4 aristas de forma cíclica, vamos, que tienes un par de 4-ciclos.
  4. Cada 4-ciclo es una permutación impar, pero al tener 2, la permutación será par.
  5. Por tanto cada vez que gires una cara estás multiplicando por una permutación par.
  6. Conclusión, si partimos de una permutación par (el cubo resuelto) y vamos multiplicándola por permutaciones pares (girar una cara 90 grados), por muchos movimientos que hagamos, siempre seguiremos teniendo una permutación par. Así que nunca podemos tener solamente 2 piezas intercambiadas ya que eso sería una permutación impar.

Espero que haya quedado claro. De todas formas, por si os habéis quedado con ganas de más, no paro aquí. Hace unos pocos años sacaron la siguiente variante del cubo de rubik:


Es un cubo de rubik, pero sin centros, hasta puedes meter el dedo por él (por si os interesa, podéis comprar uno por unos 5 euros, envío incluido, aquí). Pero vamos, como los centros del cubo de rubik son fijos, pues en un principio a la hora de resolverlo debe de ser lo mismo, ¿no? Pues con el ratón girad el siguiente cubo para ver que está resuelto, dadle al play y observad cómo queda:



Por si no podéis ver el applet ya sea porque tengáis algo más instalado o estéis usando un dispositivo portátil, en la animación se ve un cubo sin centros resuelto en el que tras unos movimientos... ¡¡se intercambian 2 piezas!! ¿Cómo es posible esto si en el cubo de rubik con centros no se puede?

Pues esto mismo es una gran sorpresa para la mayoría de la gente que sabe hacer el cubo de rubik. Y lo que me resulta más curioso es que ellos se pregunten que como es posible que pase esto en el cubo sin centros cuando de hecho nunca se han preguntado que por qué no pasa en el cubo estándar.

Así que aquí lo dejo, para que penséis vosotros por qué pasa, aunque no es demasiado difícil dar con ello.

Con esta entrada participo en la Edición 2.10 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Resistencia Numantina.

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