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Todo el mundo sabe lo que es el concepto de probabilidad. Una cosa es muy probable cuando es casi seguro que pase y poco probable cuando es muy raro que ocurra. Pero a pesar de ser un concepto bastante intuitivo, hay ocasiones en los que la intuición sobre cómo de probable es que pase algo nos puede fallar totalmente, y de eso trata la entrada de hoy. Y es que en algunas situaciones, controlar cual es la probabilidad de que algo ocurra puede ser muy beneficioso, como te puede confirmar cualquier jugador profesional de ¡póquer!

Matemáticamente la probabilidad de que algo ocurra se mide con un número entre 0 y 1, es decir, si la probabilidad de que algo ocurra es muy grande, el valor asignado será cercano a 1 y si es prácticamente imposible que pase, entonces rondará el 0. Si algo es más probable que pase a que no pase, su probabilidad será mayor que 0,5. Planteemos ahora la primera pregunta.

¿Es probable que de 23 personas cogidas al hacer, haya 2 que cumplan años el mismo día?

De la cuenta de Flickr de A30_Tsitika

Si respondemos rápidamente, supongo que la mayoría diríamos que es bastante improbable que esto pase. ¿Cuántas personas pensáis que hará falta para que la probabilidad de que podamos encontrar 2 que cumplan años el mismo día sea mayor que 0,5? Contra toda intuición, la respuesta es que precisamente ese 23 ya que la probabilidad que se obtiene es 0,5073. Comprobar esto es sencillo, he puesto las cuentas en texto oculto para que el que no quiera entrar en detalles encuentre una entrada más corta. Si quieres ver el razonamiento, pulsa en mostrar.

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Así que es ligeramente más probable que pase a que no pase, cuando de primeras podríamos pensar que es altamente improbable. Si en vez de 23 hubiésemos cogido 41 personas, la probabilidad habría sido mayor a 0,9.

Dado un día cualquiera, ¿cuál es la probabilidad de que entre 1600 personas nadie cumpla años dicho día?

Esta pregunta fue propuesta en Números y algo más. Resulta que el autor decía que en ese día, ninguno de los 1600 contactos de facebook de su hijo cumplía años. Aquí la intuición nos dice que esto es bastante improbable así que se pedía que respondiésemos a esa pregunta. Y efectivamente en este caso, la respuesta es que la probabilidad es muy baja, de hecho de aproximadamente 0,0124. En esta ocasión la cuenta es muy sencilla, los casos favorables es que cada uno cumpla años cualquiera de los otros 364 días y por tanto obtendríamos

En esta ocasión parece que la intuición acierta. Pero ahora pregunto yo, aún suponiendo que todos los contactos de facebook de su hijo hubiesen introducido su fecha de nacimiento, ¿es tan raro que su hijo viera un día que entre sus 1600 contactos ninguno cumplía años ese día? Pensad bien en esta pregunta antes de seguir leyendo........................

Si no la habéis pensado no deberíais de estar leyendo esto ahora. La respuesta es que no es raro, de hecho lo más normal es que pudiese pasar esto. ¿Pero cómo? ¿No habíamos confirmado ya calculando la probabilidad que sí que era realmente? No, lo raro es que prefijado algún día al azar resulte que nadie cumple años, pero el que exista ese día no lo es para nada. Lo que pasa es que no nos hemos planteado todavía la pregunta correctamente:

¿Cuál es la probabilidad de que entre 1600 contactos haya un día a lo largo de todo el año en el que ninguno cumpla años?

Antes la pregunta era prefijando un día, ahora el día no está fijo. Está claro la probabilidad ahora va a ser mayor que la de la respuesta anterior, pero... ¿mucho? Bien, según mis cálculos, suponiendo de nuevo que hay 365 fechas de cumpleaños equiprobables (si consideráramos el 29 de Febrero saldría un resultado parecido), la respuesta es que la probabilidad ¡¡es mayor a 0,99!! Vamos, que si el chaval se dedica a mirar todos los días si sus contactos cumplen años, raro sería que no encontrase un día en el que no cumpliese años nadie. Ahora nos podemos preguntar:

¿Cuántas personas hacen falta para que la probabilidad de que todos los días alguien cumpla años sea mayor a 0,5?

Pues si con 1600 personas, la probabilidad no llega ni a 0,01, para llegar a 0,5 (que es 50 veces más grande) lo mismo nuestra intuición nos podría decir que necesitamos un número mucho más grande, con 5 cifras. Pues bien, en este caso, la respuesta (si consideramos 365 días al año) sería 2287. Si hubiésemos considerado 366 días equiprobables, la respuesta sería 2294. Si consideramos 366 días pero con uno (29 de Febrero) una probabilidad menor que los demás, la respuesta estaría entre los 2 números, pero no lo he calculado. Si alguien se entretiene en hacerlo, que lo comente aquí.

Con esto ya termino, de nuevo dejo en texto oculto el razonamiento que he usado para dar la solución a las últimas 2 respuesta, que esta vez es más tedioso que en las preguntas anteriores.

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Esta entrada forma parte de la VII edición del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es El Máquina de Turing.