En la última entrada hice una recopilación de demostraciones matemáticas fraudulentas del tipo 0=1. La verdad es que al final me salió más didáctico de lo que me pensaba, tras revisarlo me di cuenta de que esos errores en las demostraciones no eran tan infrecuentes, 3 o 4 de ellos me los encuentro en los alumnos a los que le doy clase al corregirles los exámenes. Quizá debiera plantearme hacer esas demostraciones en clase...
A lo que íbamos, Gabriel, al ver la entrada me ha comentado que conocía otra demostración distinta a las que puse así que aquí va. Para esta demostración necesitamos números complejos. Partimos de la relación de Euler:
Tomamos 
y se nos queda como
Aplicamos ahora logaritmos neperianos. Como el logaritmo neperiano es el logaritmo de base e, se tiene que 
. Por otro lado 
así que obtenemos que
Por último dividimos entre 
y vemos que
¿Encuentras el fallo? Si no, pincha en mostrar.
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El fallo está en la afirmación . Sí, es posible que os explicasen esto en el colegio/instituto/universidad, y a pesar de lo que os acabo de decir, no os engañaron. El problema está en cómo se está usando. Me explico:
La definición de logaritmo nos dice que el logaritmo en base a de un número c es b si 
. Así que por esta definición se tendría claramente que
ya que el logaritmo neperiano es el que usa de base el número e. La primera pregunta que tiene que hacerse uno es si esta definición está bien, es decir, si siempre habrá un 
que cumpla que y si es único. Pues bien, si a y c son números positivos se tendrá que sí existe un único número real cumpliendo dicha condición (se deduce de que la función 
es creciente y su imagen son todos los números positivos).
¿Y el problema entonces? El problema está en que existe un único número real cumpliendo eso. Pero si hablamos de números complejos la cosa cambia ya que no habrá un único que cumpla que sino que existirán infinitos!!!!! Por lo tanto cuando estamos trabajando con números complejos, la definición dada de logaritmo no tiene sentido ya que tendríamos infinitos valores para escoger. Esto hace que no sea válida la igualdad
cuando x es un número complejo ya que de hecho el primer miembro de la igualdad directamente no tendría sentido. Pero repito, esta igualdad, cuando nos limitamos a trabajar solamente con números reales, es totalmente cierta, así que no os sintáis engañados.
Así que ya sabéis, cuidado cuando se os amplíen vuestros horizontes, ya que las leyes que conocíais podrían cambiar!!!
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