Volvemos al ataque y no con un problema sino 3. El primero de ellos es bastante conocido aunque no he encontrado ninguna referencia de su origen. Los otros 2 son variaciones sencillas que me he inventado pero que probablemente alguna de ellas o ambas hayan aparecido antes en algún sitio porque no sería raro que a alguien se le hubiese ocurrido lo mismo que a mi.

El problema inicial.

Se escogen dos números mayores que 1 y menores que 100. A continuación y por separado, al sujeto S se le comunica cual es la suma de estos dos números y al sujeto P el producto de estos dos números. S sabe que P conoce el producto, P que S conoce la suma y a ninguno se le ha dicho cuales son los números iniciales. Tras esto S y P se reunen y se les pregunta si saben cuales son los números iniciales. Y eso es lo que contestan:

P: No sé cuales son estos números.

S: Sabía que no podrías saberlo.

P: Ah, pues entonces ya sé qué números son.

S: Pues entonces yo también.

¿Cómo es posible esto? ¿Se puede deducir de esa conversación cuales son los números iniciales?

Pues este es el problema. Hay que encontrar dos números que hagan que con su suma y producto se genere la conversación anterior y comprobar que sólo puede pasar con esos dos números o en caso contrario buscar todos con los que podría pasar. Como siempre, en este tipo de problemas hay que suponer que los sujetos que intervienen son muy listos.

Variación 1.

Vamos a considerar ahora exactamente el mismo problema pero cambiando una línea del diálogo.

P: No sé cuales son estos números.

S: Pues yo tampoco.

P: Ah, pues entonces ya sé qué números son.

S: Pues entonces yo también.

La pregunta vuelve a ser que cuales son los números iniciales.

Variación 2.

De nuevo consideramos el mismo problema y el diálogo va a ser el mismo que en la variación 1 pero cambiando el orden en el que hablan, es decir:

S: No sé cuales son estos números.

P: Pues yo tampoco.

S: Ah, pues entonces ya sé qué números son.

P: Pues entonces yo también.

En este caso vamos a tener un dato extra, sabemos que la suma va a ser como mucho 100 (pero P desconoce este dato). ¿Cuáles son los números iniciales?

Os aviso de que la variación 1 y la variación 2 son mucho más fáciles de resolver que el problema original. De hecho en una de las dos variaciones la última línea de diálogo ni va a hacer falta. He pensado otras variaciones curiosas que pueden complicar la cosa pero antes de ponerlas por aquí trataré de resolverlas.

Solución: Atención, a continuación la solución del problema, si no quieres verla simplemente no le des a mostrar:

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Para acceder a todos los problemas de lógica escritos en este blog, basta con pinchar en el link Para pensar un poco que aparece arriba o en la lista de categorías o directamente pinchar en el enlace que acabo de poner.

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13 Respuestas a “El problema de la suma y el producto”
  1. Lluís (Girona) dice:

    Seguramente se refiere a que los números elegidos estan entre el 1 y el 10. De lo contrario, parece muy difícil. Si estan entre estos números, el resultado es 2 y 6. De lo contrario, espero la explicación al respecto

  2. Los 3 son mayores que 2 y menores que 100. La solución del primero no puede ser 2 y 6 porque en tal caso la suma sería 8. Si la suma es 8, S no puede descartar que la solución sea 3 y 5 y por lo tanto no podría asegurar que P no sabría la respuesta, ya que si fuese 3 y 5, le habrían dicho que el producto es 15 y la única posibilidad en tal caso es 3 y 5.

    La solución de las 2 variantes tampoco es 2 y 6.

    P.d. Pronto pondré la solución.

  3. Lluís (Girona) dice:

    Mira esto:
    a) Si P fuera producto de dos primos distintos, P = pq, entonces A sabría la suma (S = p + q).

    b) Si P fuera un primo al cuadrado, P = p2, entonces A también sabría la suma (S = 2p).

    c) Si P fuera un primo al cubo, P = p3, entonces A también sabría la suma (S = p2 + p).

    d) Si P fuera una potencia de un primo mayor que 3, P = pn con n>3, entonces habría al menos dos sumas distintas, pn-1 + p es siempre estrictamente mayor que pn-2 + p2 (pn-1 + p es mayor o igual que 2pn-2 + p y esto es estrictamente mayor que pn-2 + p2).

    e) Si P fuera el producto de dos primos distintos por un número mayor que 1, P = pqm donde p y q son primos y m > 1, entonces siempre habría al menos dos sumas distintas, p + qm y q + pm (de ser iguales p tendría que ser igual a q).

    Luego si A no sabe la suma es porque P no es pq, P no es p2 y P no es p3.

    Escribamos las primeras posiblidades, lo que descarta los casos S = 4, S = 5 y S = 6:
    S = 4 2 + 2 (P = 4)
    S = 5 2 + 3 (P = 6)
    S = 6 2 + 4 (P = 8)
    3 + 3 (P = 9)
    S = 7 2 + 5 (P = 10)
    3 + 4 (P = 12)
    S = 8 2 + 6 (P = 12)
    3 + 5 (P = 15)
    4 + 4 (P = 16)
    S = 9 2 + 7 (P = 14)
    3 + 6 (P = 18)
    4 + 5 (P = 20)
    Si la suma fuera 7, B sabría el producto con tener la suma porque la descomposición 2 + 5 no es posible por lo que ha dicho A, y no podría decir su primera frase. En todos los casos siguientes B no sabe el producto aunque sepa la suma porque siempre hay al menos dos formas que dan esa suma y que no son (p, q), (p, p) o (p, p2).

    Ahora bien, si después de que B diga que no sabe el producto, A dice que ya sabe la suma, es que el hecho de eliminar el caso del 7 le ha servido para algo. El producto tenía que ser 10 o 12. Como 10 es un producto que de 2 primos distintos, tiene que ser 12. 12 sólo sale en las sumas 7 y 8. Como acabamos de eliminar el 7, los números tienen que ser 2 y 6.

  4. Bueno, se nota que la solución la has sacado de otra página XD.

    Bien, me he equivocado en mi mensaje anterior, 2 y 6 sí es la solución, pero de la variante 1. Al mirar las notas donde lo resolví se ve que lo miré mal porque es esa la solución que tengo. Sin embargo a la solución que has puesto le falta un pequeño detalle y es comprobar que no podría pasar lo mismo con dos números que sumen 10 o más.

    Sin embargo la solución de la variante 2 y la solución del problema original son distintas, son otros números lo que salen. Te animo a que sigas intentándolo.

    Por cierto, cuando vayas a poner soluciones como en el comentario anterior, te recomiendo que uses spoilers:

    http://www.zurditorium.com/spoilers-en-los-comentarios

  5. Acabo de poner las soluciones. Puf, al resolverlo uno de forma esquematizada y tal parecía más corto. Explicarlo bien ha hecho que salga largo.

    Otra forma de hacerlo habría sido haciendo comprobaciones con ordenador.

  6. no dice na da de mi pregunta
    daaaaaaaaaaaaaa

  7. yo soy amiga de mery,y como soy amiga de mery yo tambien digo que esto no me esplica nada oseaa :)

  8. [...] Extraído de http://www.zurditorium.com [...]

  9. Una variación muy interesante es si no sabes quién sabe el producto o la suma (pero ellos sí) y se desarrolla el diálogo:
    +No puedes saber cuál es mi número
    -Te equivocas, es 136

  10. Natasha videla 6°B 11 años dice:

    Que esta muy buenos pero no entiendo chauu

  11. Dices que no has encontrado ninguna referencia de su origen. Yo lo vi publicado hace muchos (pero muchos) años en un Quo, cuando había toda una página dedicada a problemas lógicos y similares.

    Saludos Carlos

  12. Por cierto, en enero de 2008 te lo puse en foro de Rubik, casi dos años antes:

    http://rubikaz.com/foro/viewtopic.php?p=60956#p60956

    :D

  13. @JCarles:
    si antiguo es, pero eso, que no sé el origen. Por supuesto que lo he visto en muchos sitios.

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