El problema de la suma y el producto

Volvemos al ataque y no con un problema sino 3. El primero de ellos es bastante conocido aunque no he encontrado ninguna referencia de su origen. Los otros 2 son variaciones sencillas que me he inventado pero que probablemente alguna de ellas o ambas hayan aparecido antes en algún sitio porque no sería raro que a alguien se le hubiese ocurrido lo mismo que a mi.

El problema inicial.

Se escogen dos números mayores que 1 y menores que 100. A continuación y por separado, al sujeto S se le comunica cual es la suma de estos dos números y al sujeto P el producto de estos dos números. S sabe que P conoce el producto, P que S conoce la suma y a ninguno se le ha dicho cuales son los números iniciales. Tras esto S y P se reunen y se les pregunta si saben cuales son los números iniciales. Y eso es lo que contestan:

P: No sé cuales son estos números.

S: Sabía que no podrías saberlo.

P: Ah, pues entonces ya sé qué números son.

S: Pues entonces yo también.

¿Cómo es posible esto? ¿Se puede deducir de esa conversación cuales son los números iniciales?

Pues este es el problema. Hay que encontrar dos números que hagan que con su suma y producto se genere la conversación anterior y comprobar que sólo puede pasar con esos dos números o en caso contrario buscar todos con los que podría pasar. Como siempre, en este tipo de problemas hay que suponer que los sujetos que intervienen son muy listos.

Variación 1.

Vamos a considerar ahora exactamente el mismo problema pero cambiando una línea del diálogo.

P: No sé cuales son estos números.

S: Pues yo tampoco.

P: Ah, pues entonces ya sé qué números son.

S: Pues entonces yo también.

La pregunta vuelve a ser que cuales son los números iniciales.

Variación 2.

De nuevo consideramos el mismo problema y el diálogo va a ser el mismo que en la variación 1 pero cambiando el orden en el que hablan, es decir:

S: No sé cuales son estos números.

P: Pues yo tampoco.

S: Ah, pues entonces ya sé qué números son.

P: Pues entonces yo también.

En este caso vamos a tener un dato extra, sabemos que la suma va a ser como mucho 100 (pero P desconoce este dato). ¿Cuáles son los números iniciales?

Os aviso de que la variación 1 y la variación 2 son mucho más fáciles de resolver que el problema original. De hecho en una de las dos variaciones la última línea de diálogo ni va a hacer falta. He pensado otras variaciones curiosas que pueden complicar la cosa pero antes de ponerlas por aquí trataré de resolverlas.

Solución: Atención, a continuación la solución del problema, si no quieres verla simplemente no le des a mostrar:

[spoiler]

Podría escribir las soluciones algo más corto diciendo que se comprueban muchas cosas, pero las escribo detalladas. Son largas pero no excesivamente complicadas de entender.

Solución del problema original.

La solución es 4 y 13. Veamos primero que pasaría con estos números. A P le habrían dicho 52 por lo que sabría ya que los números son 2 y 26 ó 4 y 13 así que no podría saber todavía la solución. La habría sabido si el número dado fuese producto de dos primos. A S le habrían dicho que la suma es 17. Como 17 no se puede poner como suma de 2 primos, sabe que P no puede saber la solución. Una vez que le dice a P que ya sabía que no lo sabría, P descarta el caso 2 y 26 ya que la suma no puede ser 28 porque si lo fuera, S no podría haber descartado que la solución fuese 23 y 5 y por lo tanto no podría haber asegurado que P no iba a saber qué números son. Con esto P sabe ya qué números son. S también lo sabría puesto que puede descartar cualquier otro par de números que sume 17 ya que en estos casos, P no habría encontrado la solución. Efectivamente, los otros casos posibles son

-2 y 15. El producto sería 30 así que P no podría descartar 2×15 ni 5×6.

-3 y 14. El producto sería 42 así que P no podría descartar 3×14 ni 2×21.

-5 y 12. El producto sería 60 así que P no podría descartar 5×12 ni 3×20.

-6 y 11. El producto sería 66 así que P no podría descartar 6×11 ni 2×33.

-7 y 10. El producto sería 70 así que P no podría descartar 7×10 ni 2×35.

-8 y 9. El producto sería 72 así que P no podría descartar 8×9 ni 3×24.

Bien, ya hemos explicado cómo es posible que se de una conversación así. Ahora queda la parte más complicada, comprobar que además esto no puede pasar con otros 2 números y esto va a ser la parte más complicada del problema.

Como S estaba seguro de que P no puede saber su resultado, esto va a querer decir que cada vez que pongamos la suma que le dieron como suma de 2 números a y b, el producto axb se va a poder descomponer de más de una forma como producto de 2 números entre 1 y 100. Por lo tanto, la suma no se va a poder poner nunca como suma de dos números primos. Esto nos elimina para S todos los números pares (todo número par es suma de 2 primos, bueno, no se sabe si todos, pero desde luego que se cumple con cualquiera menor que 100) y todos los números de la forma 2+p con primo.

Además la suma no podrá ser tampoco mayor que 54 ya que si suma>54, podría que pasar que a fuese 53 y b fuese suma-53 y en tal caso, P sabría la solución de forma inmediata ya que cualquier otra descomposición del producto (S-53)x53 en dos factores, tendrá un factor mayor a 100, ya que 53 es primo así que un factor tiene que ser múltiplo de 53, y el único múltiplo de 53 menor a 100 es él mismo. Así que en tal caso, S no podría haber asegurado que P no iba a saber la solución.

Con esto podemos empezar a descartar casos, pero teniendo en cuenta toda la conversación, podremos descartar la mayoría. Veamos que la suma no se puede poner de dos formas distintas como suma de un primo y una potencia de 2. ¿Por qué? Si la suma es p+2^n con p primo distinto a 2, tras la primera afirmación de S, P sabría que los números tienen que ser uno par y el otro impar (ya que la suma no puede ser par). En tal caso si el producto fuese px2^n, P sabría que la única posibilidad es p y 2^n. Así que S no podría descartar que la solución sea p y 2^n. Pero es que si la suma también es igual a q+2^m con q otro número primo distinto a 2, por el mismo razonamiento, S no podría descartar que la solución sea q y 2^m. Como hay 2 casos que no podría descartar, S no podría saber cual es la solución. Y como esto no es lo que pasa, podemos descartar para la suma todos los números que se pueden poner de dos formas distintas como suma de un primo y una potencia de 2.

Bien, pues descartando todos los números mayores a 54, los pares, los de la forma 2+p con p primo y los que se pueden poner de dos formas distintas como suma de un primo y una potencia de 2, nos quedarán solo las siguientes posibilidades para la suma:

17, 29, 41 y 53.

Como hemos comentado antes, si la solución es un primo distinto a 3 y una potencia de 2, P la sabría tras la primera respuesta de S. Usando esto y analizando un poco más vamos a descartar más casos.

Si la suma fuese 29, P sabría la solución si fuese 16=2^4 y 13. Si la solución fuese 4 y 25 también la sabría ya que las otras posibles descomposiciones de 100 serían 2x 50, 10×10 y 20×5. Las dos primeras no podrían ser que que la suma sería par. Pero es que 20 y 5 tampoco ya que 20+5=23+2 y sabe que la suma no se puede descomponer como suma de 2 primos. Por lo tanto si la suma fuese 29, S no podría descartar ni la solución 16 y 4 ni la solución 25 y 4.

¿Y si la suma fuese 41? Pasaría lo mismo que en el caso anterior. S no podría descartar que la solución fuese 4=2^2 y 37 ni que fuese 10 y 31 (si descomponemos 310 como producto de dos números, el único caso posible sería 31 y 10 ya que con cualquier otra descomposición se obtendrían 2 números que sumarían más de 54, cosa que P descartaría por la primera respuesta de S).

¿Y si fuese 53? Pues lo mismo, S no podría descartar los casos 16=2^4 y 37 ni el caso 21 y 32 (este último por el mismo motivo que el 31 y 10 del párrafo anterior).

Bien, pues ya sabemos lo que vale la suma, 17. Como hemos explicado al principio, si la suma vale 17, S deduciría que si P sabe la solución, se tiene que tratar de 4 y 13.

Solución a la variante 1.

Este caso va a ser más sencillo que el anterior. Con la primera afirmación de P, S sabe que los números no pueden ser 2 números primos ni un primo y el cuadrado de este ya que en caso contrario P habría sabido la solución. Como S sigue sin saber la solución tenemos que la suma se puede poner al menos de dos formas distintas como suma de 2 números no simultáneamente primos o suma de un primo y su cuadrado (si solo se pudiera poner de una forma, esta tendría que ser la solución). Es fácil ver que esto descarta cualquier suma menor a8. Sin embargo esto no descarta a ningún número mayor o igual que 8 ya que si x>=8 tenemos que x=4+(x-4)=6+(x-6)  y ni 4 ni 6 son primos ni 4 puede ser el cuadrado de x-4.

Veamos primero que pasa si la suma es 8. El caso 3+5 se descarta al ser 2 números primos así que nos queda 2+6 y 4+4. Si la solución fuese 4 y 4, el producto que le habrían dado a P sería 16. P sabría, por el razonamiento que hemos hecho en el párrafo anterior, que la suma que le han dado a S tiene que ser mayor o igual a 8. Pero esto pasa tanto con 2 y 8 como con 4 y 4 así que no podría descartar ninguno de los 2 casos. Sin embargo, si la solución fuese 2 y 6, el producto que le habrían dado a P es 12, y si descomponemos 12 como 3 y 4, la suma sería menor a 7, descartaría esta caso y sabría que la solución tiene que ser la otra, es decir, 2 y 6. S haciendo nuestro razonamiento llegaría a la misma conclusión.

Vamos a descartar ahora cualquier otra solución. Esto lo vamos a hacer con el producto. Por lo que acabamos de ver, el producto se podrá descomponer como producto de al menos 3 números primos (no necesariamente distintos) y no se podrá poner de dos formas distintas como axb con a+b mayor o igual que 8.

Si el producto fuese de la forma 2^n con n>=4, podríamos descomponerlo como 2^3×2^(n-3) y como 2^4×2^(n-4). En ambos casos, la suma de los factores sería mayor o igual que 8. Tampoco podrá ser 2^3=8 ya que P sabría de primeras que la solución tendría que ser 2 y 4. Y por lo mismo, el producto tampoco podría ser 4.

Así que tiene que haber algún primo distinto de 2 que sea factor del producto. Pero resulta que tampoco puede tener un factor primo p mayor o igual que 5 ya que si el producto es de la forma pxaxb con a,b>1, axp+b y bxp+a serían mayores o iguales a 8 y si son distintos, P no podría haber descartado como solución ninguno de los 2 casos. ¿Y si son iguales? Pues si el producto es una potencia de p mayor que 3 (no puede ser menor) podemos ponerlo como pxp^(n-1) y como (p^2)xp^(n-2) y nos pasaría lo mismo. Si no fuese una potencia de p, la única posibilidad es que el producto sea de la forma (p^n)xz con n>1 y z un número no divisible por p. En tal caso podríamos factorizar el producto también como (zxp^(n-1))xp y nos volvería a pasar lo mismo.

El producto tampoco puede ser una potencia de 3 ya que nos pasaría lo mismo que en el caso de potencia de un primo mayor que 3.

Por lo tanto el producto tiene que ser de la forma (2^n)x(3^m) con n y m números mayores o iguales a 1. Si m es mayor que 1, podríamos poner el producto como 9 por algo (9 + ese algo sería mayor que 8 ) y como 6 por otro algo (6 + otro algo sería también mayor que 8 ya que ese algo sería mayor o igual a 3). Así que el producto será de la forma 2^nx3. Como el producto no puede ser 2×3, n será mayor que 1. Si n fuese mayor que 2, el producto lo podríamos poner como 6 por algo (6 + algo sería mayor a 8 ) y como 4 por otro algo (ese algo tendría que ser divisible por 2 y 3 así que sería mayor o igual a 6 por lo que sumado a 4 sería mayor a 8 ). Por lo tanto la única posibilidad es que el producto sea de la forma

12=2x2x3.

Además de la descomposición 2×6 admite la descomposición 4×3 pero 4+3=7<8 por lo que como hemos comentado antes, si la solución fuese 4 y 3, S habría sabido cuales eran los números tras la primera frase de P. Por lo tanto la única posibilidad es que los números sean 2 y 6.

En los comentarios de este hilo aparece lo que podría ser este problema resuelto de otra forma, pero no es así puesto que en esa solución se suponía que los números tienen que ser menores a 10. Como eso no estaba en la hipótesis inicial, la solución ha sido algo más complicada.

Solución a la variante 2.

Que S no sepa la suma quiere decir que esta no puede ser ni 4 ni 5 ni 198 ni 197, pero podría ser cualquier otra. Que P no sepa la solución nos va a decir que el producto no es producto de 2 primos ni el cubo de un primo ya que en cualquiera de estos dos casos sabría la solución de forma inmediata. Bueno, también nos indica que el producto no va a tener un factor primo mayor a 50. Si una vez que P ha contestado S sabe la solución, esto nos va a indicar que hay una única de poner esta como suma de 2 números que ni son primos simultaneamente ni uno es primo y el otro su cuadrado. Así que la suma no puede ser 6 tampoco.

Si la suma es 7, como la solución no puede ser 2 y 5, esta tendrá que ser 3 y 4 y S lo sabría ya.

Si vemos que no hay más posibilidades, tendremos que efectivamente la solución es 3 y 4. Si la suma fuese 8 o mayor, S no podría descartar el caso 4 y (suma-4) ni el caso 6 y (suma-6), salvo que (suma-4) o (suma-6) sea un número primo mayor a 50. Con esto tenemos que si la suma no es 7, esta tiene que ser mayor o igual a 57 (el primer primo mayor a 50 es 53).

¿Qué pasa si la suma es par? Si está entre 58 y 100, la podemos poner como 46+(suma-46) o como 48+(suma-48) que serían 2 soluciones posibles para S tras la respuesta de P. ¿Por qué? Observad que tanto (suma-46) como (suma-48) son números pares así que el producto 46x(suma-46) se podría descomponer también como 92x((suma-46)/2) y el producto 48x(suma-48) se podría descomponer también como 96x((suma-48)/2)

¿Qué pasa si la suma es impar? Si está entre 57 y 99, la podemos poner como 49+(suma-49) o como 45+(suma-45) que serían 2 soluciones posibles para S tras la respuesta de P. ¿Por qué? Igual que en el párrafo anterior sale de que tanto (suma-49) como (suma-45) son pares.

Por lo tanto la solución va a ser 3 y 4.

Para el que se pregunte que por qué se añadió aquí el dato de que la suma fuese menor que 100. Si no hubiésemos añadido este dato se podrían haber obtenido más soluciones. Por ejemplo si la suma llega a ser 168, la única posibilidad habría sido 84 y 84 ya que si ponemos 168=a+b con a y b menores que 100 y distintos a 84, se puede comprobar que axb solo se podría descomponer de forma única como producto de 2 números naturales menores que 100 así que todos estos casos se descartarían puesto que P habría sabido de primeras la solución. Así que en este caso S también habría deducido que esta es la solución y se puede comprobar que luego P y tras decir S que ya la sabe, se puede comprobar que P también podría deducirla.

[/spoiler]

Para acceder a todos los problemas de lógica escritos en este blog, basta con pinchar en el link Para pensar un poco que aparece arriba o en la lista de categorías o directamente pinchar en el enlace que acabo de poner.

13 Responses to “El problema de la suma y el producto”

  1. Lluís (Girona) dice:

    Seguramente se refiere a que los números elegidos estan entre el 1 y el 10. De lo contrario, parece muy difícil. Si estan entre estos números, el resultado es 2 y 6. De lo contrario, espero la explicación al respecto

  2. Carlos dice:

    Los 3 son mayores que 2 y menores que 100. La solución del primero no puede ser 2 y 6 porque en tal caso la suma sería 8. Si la suma es 8, S no puede descartar que la solución sea 3 y 5 y por lo tanto no podría asegurar que P no sabría la respuesta, ya que si fuese 3 y 5, le habrían dicho que el producto es 15 y la única posibilidad en tal caso es 3 y 5.

    La solución de las 2 variantes tampoco es 2 y 6.

    P.d. Pronto pondré la solución.

  3. Lluís (Girona) dice:

    Mira esto:
    a) Si P fuera producto de dos primos distintos, P = pq, entonces A sabría la suma (S = p + q).

    b) Si P fuera un primo al cuadrado, P = p2, entonces A también sabría la suma (S = 2p).

    c) Si P fuera un primo al cubo, P = p3, entonces A también sabría la suma (S = p2 + p).

    d) Si P fuera una potencia de un primo mayor que 3, P = pn con n>3, entonces habría al menos dos sumas distintas, pn-1 + p es siempre estrictamente mayor que pn-2 + p2 (pn-1 + p es mayor o igual que 2pn-2 + p y esto es estrictamente mayor que pn-2 + p2).

    e) Si P fuera el producto de dos primos distintos por un número mayor que 1, P = pqm donde p y q son primos y m > 1, entonces siempre habría al menos dos sumas distintas, p + qm y q + pm (de ser iguales p tendría que ser igual a q).

    Luego si A no sabe la suma es porque P no es pq, P no es p2 y P no es p3.

    Escribamos las primeras posiblidades, lo que descarta los casos S = 4, S = 5 y S = 6:
    S = 4 2 + 2 (P = 4)
    S = 5 2 + 3 (P = 6)
    S = 6 2 + 4 (P = 8)
    3 + 3 (P = 9)
    S = 7 2 + 5 (P = 10)
    3 + 4 (P = 12)
    S = 8 2 + 6 (P = 12)
    3 + 5 (P = 15)
    4 + 4 (P = 16)
    S = 9 2 + 7 (P = 14)
    3 + 6 (P = 18)
    4 + 5 (P = 20)
    Si la suma fuera 7, B sabría el producto con tener la suma porque la descomposición 2 + 5 no es posible por lo que ha dicho A, y no podría decir su primera frase. En todos los casos siguientes B no sabe el producto aunque sepa la suma porque siempre hay al menos dos formas que dan esa suma y que no son (p, q), (p, p) o (p, p2).

    Ahora bien, si después de que B diga que no sabe el producto, A dice que ya sabe la suma, es que el hecho de eliminar el caso del 7 le ha servido para algo. El producto tenía que ser 10 o 12. Como 10 es un producto que de 2 primos distintos, tiene que ser 12. 12 sólo sale en las sumas 7 y 8. Como acabamos de eliminar el 7, los números tienen que ser 2 y 6.

  4. Carlos dice:

    Bueno, se nota que la solución la has sacado de otra página XD.

    Bien, me he equivocado en mi mensaje anterior, 2 y 6 sí es la solución, pero de la variante 1. Al mirar las notas donde lo resolví se ve que lo miré mal porque es esa la solución que tengo. Sin embargo a la solución que has puesto le falta un pequeño detalle y es comprobar que no podría pasar lo mismo con dos números que sumen 10 o más.

    Sin embargo la solución de la variante 2 y la solución del problema original son distintas, son otros números lo que salen. Te animo a que sigas intentándolo.

    Por cierto, cuando vayas a poner soluciones como en el comentario anterior, te recomiendo que uses spoilers:

    http://www.zurditorium.com/spoilers-en-los-comentarios

  5. Carlos dice:

    Acabo de poner las soluciones. Puf, al resolverlo uno de forma esquematizada y tal parecía más corto. Explicarlo bien ha hecho que salga largo.

    Otra forma de hacerlo habría sido haciendo comprobaciones con ordenador.

  6. mery diaz dice:

    no dice na da de mi pregunta
    daaaaaaaaaaaaaa

  7. yo soy amiga de mery,y como soy amiga de mery yo tambien digo que esto no me esplica nada oseaa :)

  8. Sadric dice:

    Una variación muy interesante es si no sabes quién sabe el producto o la suma (pero ellos sí) y se desarrolla el diálogo:
    +No puedes saber cuál es mi número
    -Te equivocas, es 136

  9. Natasha videla 6°B 11 años dice:

    Que esta muy buenos pero no entiendo chauu

  10. JCarles dice:

    Dices que no has encontrado ninguna referencia de su origen. Yo lo vi publicado hace muchos (pero muchos) años en un Quo, cuando había toda una página dedicada a problemas lógicos y similares.

    Saludos Carlos

  11. JCarles dice:

    Por cierto, en enero de 2008 te lo puse en foro de Rubik, casi dos años antes:

    http://rubikaz.com/foro/viewtopic.php?p=60956#p60956

    😀

  12. Carlos dice:

    @JCarles:
    si antiguo es, pero eso, que no sé el origen. Por supuesto que lo he visto en muchos sitios.

Leave a Reply