El hotel infinito de Hilbert
Me acabo de encontrar en microsiervos.com un artículo que habla sobre el hotel infinito de Hilbert, algo de lo que me hablaron en la primera semana de carrera para explicarnos los distintos tipos de infinitos que hay. Sin embargo he visto que les ha faltado poner lo quizá más interesante y de hecho en la página de la wikipedia que acabo de enlazar arriba tampoco sale, por lo que voy a escribirlo aquí. Os recomiendo que antes de seguir leyendo esto visitéis alguno de los dos enlaces puestos más arriba porque voy a poner primero sólo un resumen rápido de lo que ahí dice para añadir luego lo que me interesa (quizá esto lo edite otro día y lo ponga todo aquí).
Consideremos que existe un hotel con infinitas habitaciones (ya sé que es imposible), numeradas por 1, 2, 3, 4,... osea, con todos los números naturales. Imaginemos que llega un autobús con infinitos pasajeros y llenan el hotel. ¿Qué pasa si llega uno más? Corriendo todos los huéspedes una habitación podríamos dejar libre la 1 y meterlo. ¿Y si llega otro autobús infinito? Se pueden meter también. ¿Cómo? Los que ya había se meten en las habitaciones pares (de n nos vamos a 2n) y los nuevos los metemos en las impares. ¿Y si llegan infinitos autobuses? También podemos alojarlos todos, metiendo el pasajero n del autobús m en la habitación (p_m)^n donde p_m es el m-ésimo número primo (existen infinitos primos así que se puede) y de hecho nos quedarían infinitas habitaciones libres.
Bien, hasta aquí el resumen, para verlo con más detalles, ya os he dicho, mirad los enlaces anteriores. Uno ya podría pensar que siempre vamos a poder meter cualquier cantidad de pasajeros que venga. Pero no es así. Veámoslo:
Una vez llegó al hotel un autobús con infinitos turistas, pero en el que los asientos venían numerados con todos los números reales en vez de todos los naturales. Los recepcionistas del hotel se volvieron locos pensando en cómo podrían asignar ahora las habitaciones. Tras mucho pensar llegó uno de los botones y dijo que esto era imposible y les explicó cómo había llegado a esa conclusión (puede ser un poco liosa, pero si se lee con calma es comprensible):
"No vamos a poder meterlos porque ni siquiera nos caben los turistas entre 0 y 1 como os voy a explicar ahora. Imaginemos que llenamos todas las habitaciones. Vamos a considerar ahora un número "x" que estará entre 0 y 1 y para ver cual sería su decimal en la posición n, nos vamos a la habitación n y miramos el decimal en la posición n del pasajero alojado en dicha y cogemos uno distinto (por ejemplo cogemos 0 si no es 0 y 1 si es 0). Con eso construimos un número "x" que cumple que su decimal n-ésimo es distinto al decimal n-ésimo del pasajero de la habitación n, de donde se deduce que el pasajero de la habitación n tiene un número distinto a "x" y como esto pasa con todo n, el pasajero "x" no estará en ninguna habitación por lo que no podremos nunca alojar a todos los pasajeros".
Para más información sobre los distintos infinitos hay que buscar sobre ordinales y cardinales transfinitos. En la wikipedia puedes ver bastante aquí.
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20 comentarios
Muy buen articulo.
Supongo que el último autobús debió haberse dirigido a un hotel cuyas habitaciones estuviesen numeradas con los números reales. (Tan inconcebible como el propio autobús)
Sí, claro. La idea final es que se vea que el infinito es algo más complicado de lo que parece, que hay distintos infinitos, unos más grandes que otros, y que para hacer un infinito más grande no basta con sumar 2 copias y tal, es más complejo.
Por cierto, también podría llegar un autobús (inconcebible obviamente) con tantos pasajeros que no se pudieran alojar en el hotel numerado con números reales. Para todo infinito hay uno más grande.
Vamos a ver si deduces este sencillo problemilla:
Estas solo. Completamente solo. Una habitación cerrada por todos lados y totalmente opaca, con una puerta que sólo se puede cruzar una vez y no se puede salir después. La habitación tiene 3 bombillas. A una distancia -fuera de la visión de la habitación- tres interruptores. Estás en la zona de interruptores. ¿Cómo puedes saber, con las condiciones descritas, qué interruptor abre qué bombilla?
Ánimo!
Por cieto, muy bien la observación de Antonio. Y muy bien la página CArlos.
Hola Lluis y gracias.
Veo que has echado un vistazo al resto de la página por eso de que propongas aquí un acertijo, jeje. El que dices es un clásico que conozco ya de hace tiempo, así que no tiene mucho mérito que te conteste, pero bueno, lo pongo aquí, que no lo abra el que quiera pensarlo un poco:
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Bien resuelto, sin problema, pero con una pequeña variante: lo mejor es encender una bombilla 10 minutos, apagarla y encender la otra. Así queda todo muy claro 1- La caliente apagada 2. La encendida 3. La fria El de los tres magos y los tres pañuelos, supongo que ya lo sabes... Pero el del muerto en una habitación sin ventanas cerrada el portón cerrado con llave, el pestillo echado, una gota de agua debajo el pestillo, la llave encima la mesa baja y la pistola en la mano del muerto? Suicidio o asesinato?
Uhm, lo que te he dicho es lo mismo, pero en vez de 10 minutos, 1 minuto (porque tenía prisa y no podía esperar tanto jeje).
El de los 3 magos y los 3 pañuelos no sé el que dices así que en un principio no lo conozco. El otro creo que sí que lo sé:
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OK lo del asesinato por el agua, el hielo, etc. La puerta no hay duplicado de llave. Simplemente se colocó una aguja en la mesa, se cerró la puerta por fuera y por un hilo se hizo deslizar la llave hasta la mesa. Se tira de la aguja y a por otro.
En un reino se decide que como hay crisis, reducirán de tres magos a uno. Dos serán ejecutados. El rey quiere ser justo y además quedarse con el más sabio. Uno de estos magos está ciego porque ya se enfrentó con el rey
La cuestión es la siguiente: Hay 5 pañuelos: 3 blancos y dos negros. Se coloca un pañuelo detrás de cada uno, y se debe adivinar de qué color lleva el pañuelo. Pasan las horas, y nadie dice nada, hasta que el ciego dice: lo llevo blanco! y se salva. ¿Cómo llega a esta sabia conclusión?...
Puf, lo de la aguja y la llave es bastante rebuscado, entre otras cosas hay que introducir la llave desde fuera así que a ver cómo se hace.
Y el de los magos me lo sabía pero escrito de otra forma:
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Lo de los spoilers es sólo para cuando se pongan soluciones, pero bueno, así practicas y sabe como se usa, jeje.
No estoy de acuerdo con lo de tonto. Con esto el ciego se ha quitado competencia y además, ¿quién puede descartar que al quedar empatados el rey no pusiera otra prueba?
Yo no tengo ese punto de vista, pues si llegara un autobus con los números Reales, y cada pasajero fuera un número Real, cada pasajero terminaría siendo un número natural que pertenezca al infinito ya que no podemos decir, digamos, yo soy la persona número 1,5, ya que de todas podrían asignarme otro número, digamos, el 15 (haciendo que los que estén entre 1,5 y 15 reciban otro número natural) y así sucesivamente se podrá asignar a todos un número natural de lo infinito, bueno, así lo veo yo, y si incluiríamos, por supuesto, a los negativos más... bueno creo que de todas formas terminaríamos en el planteamiento del número infinito de autobuses infinitos, creo que este planteamiento podría referirse a los números reales, o, en todo caso, el planteamiento de los autobuses infinitos podría dar lugar a que los números complejos entraran a un hotel de infinitas habitaciones
@santiago:
Para nada. De hecho los pasajeros entre 1.5 y 15 ya no cabrían en el hotel. Te recuerdo también que existen números con infinitos decimales, como el 1.888888888... ó Pi ó E.
Y fíjate que cosa, el conjunto de los números complejos es exactamente igual de grande que el de los números reales. Te recomiendo que te leas bien la entrada.
Un saludo.
Ok, por cierto, quiero aclarar que no coinciden los comentarios de ésta página con lo que está esquematizado en mi página porque bueno... somos mas de 2 los que la editamos, a mi me contó mi colega sobre este hotel (y comentó acá) y lo que hice yo fue editar la otra página.
De todas formas, lo comentado aquí creo que sí está erróneo.
Saludos
PD: Te recomiendo que leas bien la entrada??? Mmmm... bueno cada uno tiene derecho a opinar no??? si se equivocó en lo que dijo no le des paliza xD
¿Tiene todo el mundo derecho a opinar? Claro, uno puede opinar si tal película es mejor que tal otra, pero en matemáticas no no hay opiniones sino hechos irrefutables (si son refutables, no son matemáticas).
Si muchos científicos se hubieran conformado con absorber lo que les enseñaban y sin cuestionar nada, o en otras palabras, sin dar su opinion creyendo que todo era irrefutable porque les decían que era así...nunca hubieramos llegado a donde estamos ahora, muchas cosas, por ejemplo, que decía Newton o Sócrates, eran erróneas...
No crees eso???
Bueno, yo pienso que cada quien tiene derecho entonces a decir lo que piensa.
En fin, mejor no discutir por esto, debo reconocer primero que EN MI OPINIÓN tú tienes razón, los números reales no entrarían en el hotel, y bueno en segundo lugar quiero felicitarte por tu blog, me gusta y tiene muchos datos interesantes.
Saludos.
@andres:
A ver, una cosa es experimentar y obtener unas conclusiones y otra es las cosas abstractas como en matemáticas. En matemáticas se razona directamente con dichas abstractas ( y no por experimentación) siguiendo unos razonamientos. Y esos razonamientos se pueden comprobar si están bien o no. Si entiendes un razonamiento con todos sus detalles, sabes que el resultado final es cierto, no es ya tu opinión. A un alumno al mostrarle un resultado, si se le muestra también el razonamiento y lo entiende no podrá dudar de la veracidad de la afirmación.
Por eso cuando digo que los reales no entrarían, no es una opinión, es un hecho, está demostrado, de hecho lo demuestro en esta misma entrada, es un hecho más que conocido y que nunca se podrá rebatir. Las matemáticas no son experimentales. También hay quien se equivoca, pero revisando el razonamiento se ve si hay algún error o no.
Un saludo y gracias por tus comentarios.
@Lluís (Girona):
Yo creo que lo que es imposible es la propia situación que se describe: "Una vez llegó al hotel un autobús con infinitos turistas, pero en el que los asientos venían numerados con todos los números reales en vez de todos los naturales." Que los asientos vengan numerados significa, entiendo yo, que se ha establecido una relación uno a uno entre el conjunto de los asientos y el conjunto de los números naturales. Puedes decir: a éste le corresponde el uno, a éste le corresponde el dos... Y eso no se puede hacer con los números reales porque es un conjunto que no se puede contar (uncountable, ). Una cosa es imaginarse un hotel con infinitas habitaciones, lo cual rompe las reglas de la realidad física, pero es útil para la abstracción y el análisis matemático, y otra cosa es violar un teorema para describir una situación matemáticamente imposible.
Es decir, podemos tener un hotel imaginario con infinitas habitaciones, pero no podemos numerar los infinitos asientos de un autobús imaginario con los números reales.
@Rubén Hinojosa:
Había dejado un enlace a Google con la frase "real numbers uncountable", pero no ha salido. El enlace es este: http://www.google.es/search?q=real+numbers+uncountable