¿Crees que serías capaz de realizar alguna proeza mental digna de salir por ejemplo en un concurso televisivo de alta audiencia e incluso ser el ganador? ¿Que no? Pues anda, sigue leyendo y verás cómo algunos truquillos te van a permitir repetir desafíos que recientemente han salido en televisión y con los que hasta los participantes han ganado suculentos premios.

En particular voy a hablar de algunos retos que he visto en el programa Increíbles, El Gran Desafío, que dan en Antena3 con el que el ganador de la noche consigue 2.000 euros, y el ganador final conseguirá 30.000 euros. Quiero dejarlo primero claro, no voy a hablar de tramposos (aunque sospecho que los hay, en uno de los programas ganó uno que estoy seguro que podía ver a pesar del antifaz que llevaba), simplemente voy a hablar de cómo algunas pruebas que parecen muy difíciles, en realidad son mucho más sencillas de lo que parecen si sabes "el truquillo". Vamos, es como la magia, podemos ver  un truco que nos parezca imposible de realizar, pero si nos dicen el truco, podremos realizarlo fácilmente. Pues eso os voy a contar hoy, el (posible) truco en algunos casos.

¡Vamos a realizar raíces a la decimotercera potencia de números de hasta 26 cifras!

 

Hace poco el ganador fue un chaval (que por cierto conozco de mi foro del cubo de rubik) que era capaz de realizar raíces a la decimotercera potencia de números que podían tener hasta 26 cifras. Bueno, hay que aclarar que eran raíces cuya solución era siempre un número entero, sin decimales. Bueno, y no os voy a engañar, hacía a la vez parkour/break dance para adornar la prueba. El parkour no os lo voy a explicar, eso es mucha práctica, pero desde luego que no ganó por dichas piruetas (de hecho el programa busca la mejor mente). Y lo cierto es que ya hubo una prueba parecida, semanas antes otro concursante hacía raíces cúbicas, quintas y séptimas, de nuevo de soluciones enteras.  Podéis ver la prueba aquí, seleccionando el quinto vídeo. En fin, vamos a ello, ¿cómo podemos hacer esta prueba?

Antes de nada, ¿sabéis qué significa raíz decimotercera? Pues dado un número y, su raíz decimotercera es un número x que al elevarlo a 13 (multiplicarse por si mismo 13 veces) da el número original:

x^{13}=x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x=y.

Está claro, ¿no? Pues sí, de primeras parece que si te dan un número de hasta 26 cifras, pues puede ser bastante complicado ver qué número entero cumple que al elevarlo a 13 de el resultado deseado. Pero pensemos un poco, ¿cuántos números hay que al elevarlos a 13 tengan 26 cifras o menos? Pues solo 100, del 0 al 99 (obviamente no contamos números negativos ya que eran raíces positivas). Y ver esto es muy sencillo, basta calcular lo que vale 100^{13} que nos da un 1 seguido de 26 ceros, es decir, 27 cifras. Y si cogemos un número más grande, pues más cifras aún. Por tanto solo hay 100 números de 26 cifras o menos que nos podrán salir en la prueba por lo que directamente podríamos aprendernoslos de memoria para simplemente reconocerlos. Pero es que todavía es más fácil, tendremos que memorizar mucho menos. Observemos primero una cosa:

Si tenemos un número de dos cifras de la forma XY, entonces la última cifra de XY^{13} será Y.

Esto es muy sencillo de comprobar, basta ver primero que al elevar un número XY a n, la última cifra de XY^{13} será la misma que la de Y^{13}. Lo mismo pasaría si el número tiene más cifras o si cambiamos el exponente. Ahora coged las 10 cifras posibles y elevadlas a 13, veréis que la última cifra es precisamente el número que habéis cogido. Y eso pasa de hecho para cualquier exponente de la forma 4n+1.

Bien, pues una vez nos den el número, enseguida sabremos una de las dos cifras de la raíz, ¿cómo podemos saber la otra cifra? Pues basta por ejemplo con aprenderse de memoria la siguiente tabla:

10^{13} es un 1 seguido de 13 ceros (esto más que aprendérselo, se lo sabe uno).
20^{13} tiene 17 cifras y empieza por 8.
30^{13} tiene 20 cifras y empieza por 1.
40^{13} tiene 21 cifras y empieza por 6.
50^{13} tiene 23 cifras y empieza por 1.
60^{13} tiene 24 cifras y empieza por 1.
70^{13} tiene 24 cifras y empieza por 9.
80^{13} tiene 25 cifras y empieza por 5.
90^{13} tiene 26 cifras y empieza por 3.

En realidad se podría hacer memorizando menos datos, pero bueno, lo voy a explicar con estos, que total, es algo que cualquiera puede memorizar en un ratillo. Bien, imaginad que os dan el siguiente número:

16.358.756.351.530.297.517.773.047

Sí, lo daban así, con puntitos, para que podamos contar rápidamente las cifras que tiene. Pues acaba en 7 y tiene 26 cifras (gracias a los puntitos las cifras se cuentan rápido).  Además, como la primera cifra es un 1, gracias a los datos que debemos memorizar sabemos que el número debe de estar entre 80^{13}90^{13}. Por tanto el número debe de ser 87^{13} con lo que la solución tiene que ser 87.

Vamos a poner otro ejemplo, porque en un principio nos podría surgir alguna duda en algunos casos (en realidad solo en 5). Imaginad que nos sale

104.972.647.676.132.430.295.979

24 cifras y empieza por 1, al igual que 60^{13}, pero sabemos que la raíz decimotercera no es 60 puesto que no termina en 0. Aquí tendríamos un problema, ya que no sabemos si el número va a ser mayor o menor que 60. Pero no pasa nada, porque aquí lo que pasa es que la solución estará muy cerca de 60, tanto que será el número anterior o el posterior, es decir, 59 ó 61. Y como termina en 9, la única posibilidad es que sea 59.

Creando un cuadro mágico en el tablero de ajedrez con un caballo y a ciegas.

 

Esta vez al concursante le dan esta información: una posición en el tablero de ajedrez y un número. El concursante entonces tenía que ir recorriendo mentalmente (de espaldas al tablero) el tablero de ajedrez entero con un caballo, partiendo de la posición inicial dada y sin pasar 2 veces por la misma casilla. A su vez, en cada casilla tenía que poner un número (podían poner negativos). Al terminar el recorrido tenía que pasar que en cada fila, la suma de los número de dicha fila fuese igual al número que le habían dado inicialmente. Y lo mismo para las columnas. Una prueba que realmente parece espectacular, de hecho el concursante también ganó esa noche (llevándose unos 2000 euros), aunque no lo es tanto. Podéis ver la prueba aquí, seleccionando el vídeo 7.

Para poder realizar la prueba vamos a tener que memorizar antes unas cosillas y luego tener cuidado al realizarla para no perdernos por hacerlo a ciegas. Pero vamos, que muchísima gente sería capaz de hacerla tras un par de días de preparación. Vamos a tener que memorizar 2 cosas, un "cuadro mágico" de tamaño 8x8 y una forma de recorrer el tablero con un caballo. El cuadro mágico a memorizar será el siguiente:

1 62 15 52 20 47 30 33
61 2 51 16 48 19 34 29
13 50 3 64 32 35 18 45
49 14 63 4 36 31 46 17
24 43 26 37 5 58 11 56
44 23 38 25 57 6 55 12
28 39 22 41 9 54 7 60
40 27 42 21 53 10 59 8

 Puede parecer complicado de memorizar, pero no lo es tanto. Si nos fijamos veremos que hay un patrón no muy complicado, en una hora lo tendréis perfectamente memorizado (y la mayoría en menos de 10 minutos). Es más, lo mismo dicho cuadrado tiene algún truquillo más para facilitar la memorización, pero tampoco hace falta.

Este cuadro tiene la propiedad de que si sumamos los elementos de una fila o de una columna, siempre nos dará 260. Al concursante le daban un número de 3 cifras por lo que sumando o restando a los elementos de la diagonal el número adecuado puede obtener el número deseado. Imaginad que le dan al 500. Como 500 es mayor que 260 y 500-260=240 le bastaría sumar este número a la diagonal en negrita por lo que en vez de un 1 debería de poner un 241 y en vez de un 7 un 247. En el caso del programa el número que salió fue 130 que es menor que 260, y como 260-130=130, este fue el número que tuvo que restar como podéis ver en la siguiente imagen:

cuadrado

Como veis lo de conseguir el cuadro mágico (aunque siendo estrictos no lo es por eso de tener números negativos) no es complicado. ¿Qué es lo segundo que tenemos que memorizar? Pues un recorrido del caballo, es decir, una forma de recorrer el tablero de ajedrez con el caballo de forma que pase por todas las casillas sin pasar 2 veces por la misma. Además debemos memorizar un recorrido cíclico, es decir, que al llegar a la última casilla, pudiésemos en el siguiente movimiento ir a la casilla de partida. Por ejemplo esta:

63 14 37 24 51 26 35 10
22 39 62 13 36 11 50 27
15 64 23 38 25 52  9 34
40 21 16 61 12 33 28 49
17 60  1 44 29 48 53  8
 2 41 20 57  6 55 32 47
59 18 43  4 45 30  7 54
42  3 58 19 56  5 46 31

Puede parecer complicada de memorizar, pero no lo es tanto. Coge el caballo y ve moviéndolo del 1 al 2, después al 3, después al 4 y así. Hay ciertos patrones que se repiten (no tan claros como en el cuadro mágico) con lo que al final, tras cierto esfuerzo lo podremos memorizar. Y ojo, no hay que aprenderse los números, sino que apréndetelo como un recorrido que va haciendo el caballo, de forma visual será más sencillo seguramente para ti.

Y bien, una vez memorizado el cuadro mágico y el recorrido del caballo, ya estamos listos para hacer la prueba. Nos dan una casilla, pensamos en el cuadro mágico y decimos el número que cae ahí (si es en la diagonal restando lo dicho antes). Ahora siguiendo el recorrido del caballo tenemos que decir a qué casilla nos vamos y volver al cuadro mágico para dar una cifra y así. Esta parte puede costar, si nos desconcentramos la podemos fastidiar, pero vamos, no es demasiado difícil, en un día mucha gente se podría preparar la prueba.

Reconocer una jugada entre 100 partidas de ajedrez con tan solo 3 posiciones

 

Vamos a seguir ahora con el ajedrez, pero con una prueba que me llamó especialmente la atención. Dos concursantes, se elige una posición entre las 100 mejores partidas de ajedrez (según algún ranking), uno de los concursantes ve dicho movimiento (junto al nombre de la partida), el otro no ve nada. El que ve la partida tiene que elegir 3 piezas del tablero y al que no ve nada se le comunica la posición de esas 3 piezas. Y con solo ese dato debe de ser capaz de adivinar de qué partida se trata (judagores, color de cada jugador y resultado). En total hay 5443 posiciones. Aquí tenéis el vídeo de dicha prueba. Por cierto, esta pareja fue también la ganadora de dicha edición.

Espectacular la prueba, ¿verdad? Yo casi que diría que de primeras el que lo tiene más difícil es el que ve, ya que tiene que seleccionar las piezas para que su compañero la pueda detectar. Pero... ¿lo hacen pulo a pelo usando la memoria o usarán algún truquillo? Hay algunas cosas que me hacen pensar que algo hacen para facilitarlo:

1.- De 100 partidas de ajedrez, tiene que haber por fuerza posiciones que se repitan, sobre todo al inicio de la partida. No obstante puede ser que hayan descartado posiciones repetidas y por tanto en realidad no sean todas.

2.- Al mostrar la partida de ajedrez en pantalla, el que lo ve tiene delante también los datos de la partida que es. Y esto me intriga, porque si el que lo ve va a seleccionar las piezas para que su compañero sepa qué partida es, él tiene que tener también un conocimiento de dichas partidas que no necesitaría que le mostrasen el nombre. ¿No habría sido mejor que el nombre quedase oculto para hacerlo aún más espectacular?

3.- Uno de los concursantes, el que selecciona las piezas, resulta que es matemático. Esto me hace pensar que puede haber diseñado algo...

ajedirez

En fin, no sé si lo hacen a pelo o si han diseñado algo, pero os voy a contar lo que habría hecho yo para facilitar la prueba. Pensemos primero en los datos que le dan al de los ojos tapados, 3 piezas del tablero y su posición. ¿Cuántos tipos de fichas hay en total? Rey, reina, alfil, caballo, torre y peón, además de cada color, por lo tanto en total hay 12 tipos de piezas. Veamos entonces de cuantas formas se pueden escoger 3 piezas. Suponiendo que solo hubiese una pieza de cada tipo, esto sería combinaciones de 12 elementos tomados de 3 en 3, es decir:

\displaystyle\binom{12}{3}=\frac{12\cdot 11\cdot 10}{3\cdot 2\cdot 1}=220.

Edito: por un comentario veo que en realidad un concursante le decía al otro las piezas y posiciones, por lo que van a controlar el orden el que se dice, esto hace que no sean combinaciones sino variaciones, es decir, que en realidad nos saldría 1320 posibilidades, muchísimas más. Pero es que todavía van a ser mucho más de 1320 casos, ya que los hemos contado sin repetir piezas. Por tanto no hemos contado los casos en los que entre las 3 piezas haya 3 peones de un color, o 2 de un color, o 2 caballos, etcétera. Pero da igual, solo quería mostraros que con esto va a haber muchas más de 100 posibilidades, y eso que solo estamos dando las piezas, no las posiciones. Así que yo opino que lo que pueden haber hecho es lo siguiente:

A cada partida le han asignado 3 piezas en un orden, 3 piezas que deben de permanecer en el tablero durante toda la partida. Así que dada una partida, el que selecciona las piezas, las seleccionará sin importarle en qué momento de la partida están, y el dato de la posición de las fichas será superfluo. El dato de la posición sirve para que sea más real. Además, como en dichas partidas famosas hay jugadores que se van a repetir, lo mismo han usado algún sistema para simplificar la memorización. Por ejemplo decir que las partidas de Lasker tendrán siempre el rey blanco y las de Fischer el rey negro (es un ejemplo, no me he fijado en si en el vídeo salen dichos reyes y jugadores), o incluso podría todo estar codificado de otra forma. En fin, que de haber hecho así, solo hay que aprenderse las 3 piezas asociadas a cada una de las 100 partidas. Eso sí, hay que aprendérselas, pero se puede hacer en no mucho tiempo. Hacer esto simplifica mucho todo, no hay que saberse casi 5500 posiciones, sino que basta con saber solo unas 100 (y que pueden haber simplificado la forma de memorizar).

Ojo, hay una pega a este método. Las 3 piezas a asignar en cada partida tienen que ser piezas que aguanten hasta el final de la partida. ¿Será posible en el caso de estas 100 partidas coger 3 piezas distintas para cada una? Pues no lo puedo asegurar porque tendría que mirar las partidas que son (y no sé qué 100 partidas son las que usan por lo que no puedo hacer el análisis). No obstante, dado que son partidas famosas, tiene que ser porque hay alguna jugada especial, esto quiere decir que en general estas partidas habrán terminado con muchas piezas sobre el tablero, por lo que creo que es posible que se pueda hacer así. Si no se pudiera, lo que es seguro es que al menos sí que se podrá asociar a la mayoría de las partidas 3 piezas distintas, de forma que nos quede lo mismo solo 3 ó 4 partidas sin piezas asociadas. Si hubiese alguna así, pues bueno, es cuestión de analizar las partidas y hacer por ejemplo cosas como:

En esta partida que no podemos asignar 3 piezas que no hayan sido asignadas antes, si nos saliera un movimiento anterior al X sí que podríamos porque tal pieza no ha sido comida. Por tanto le asignamos estas 3 piezas. Si sale un movimiento posterior (que van a ser pocos), asigno estas otras 3 piezas que son las mismas que asignamos a esta otra partida, pero observa que aquí cogeré el peón en una de estas casillas, y eso te lo diferenciará de la anterior...

En realidad me imagino que no haría falta hacer las distinciones que comento en el último párrafo, pero vamos, por si acaso he comentado qué podríamos hacer.

¿Habrán hecho esto? Pues creo que en parte. Me creo perfectamente que el de los ojos tapados se supiera todas las partidas de memoria, y si no todas, un buen porcentaje, porque no sé él, pero hay muchos jugadores de ajedrez que sí. Pero está claro que tuvieron que idear alguna estrategia para comprobar que iban a ser capaces de distinguir las partidas, así que me imagino que la gran mayoría de partidas las tenían así como codificadas.

Y con esto lo voy a dejar por hoy. Tenía pensado comentar alguna cosilla más que he visto en el programa, pero conforme iba escribiendo y buscando los vídeos de las pruebas, he visto otras pruebas que también podría incluir aquí, por lo que al final si me dedico a intentar todas las que veo que son más sencillas de lo que parecen, iba a salir una entrada muy larga. Lo que haré será quizá crear otro día otra con otras pruebas.

Recapitulemos:

Hemos hablado de 3 pruebas, las 3 han sido ganadoras de una noche del programa "El gran desafío" llevándose un premio de 2000 euros.

1.- Hacer raíces de potencia decimotercera: esta prueba en particular es especialmente fácil de hacer, una vez visto cómo hacerlo, aprendiendo unos pocos datos se hace sin mayor esfuerzo. Eso sí, si lo queréis adornar y no sabéis hacer parkour, os podéis inventar otra cosa.

2.- Cuadrado mágico + recorrido del ajedrez: ya hemos dicho como se hace. En este caso hace falta una preparación mayor, ya que hay que memorizar un par de tablas digamos, pero no es algo demasiado complicado de memorizar. Una vez memorizado y con tranquilidad (y esfuerzo) deberíamos de ser capaces de resolverlo. Pero que quede claro, no es una generación de los cálculos en el momento, es un recorrido memorizado, nada más.

3.- Reconocer una partida de ajedrez entre más de 5000 posiciones por 3 piezas. Para hacer la prueba no hace falta realmente saber tantas posiciones. Simplemente hay que idear una estrategia previa con tu compañero haciendo unas asignaciones de piezas por partida, por lo que hay que memorizar solo 100 asignaciones.

Y aquí está el truco de estas pruebas, truco que no trampa. Y añado una matización final que se me había olvidado. No nos olvidemos del mérito de caer en cómo hacer estas cosas y prepararlas. Que vale, en un día puedes memorizarte algunas cosas de las que hemos puesto, pero antes de memorizar tienes que saber qué tienes que memorizar. Por ejemplo el cuadro mágico de la segunda prueba yo lo he sacado al momento pero porque lo he visto en el programa. Pero si no lo has visto antes, ¿de dónde lo sacas?

Si queréis ver el análisis de más pruebas:

http://www.zurditorium.com/y-seguimos-analizando-el-desafio-de-los-increibles
http://www.zurditorium.com/los-increibles-una-de-las-pruebas-finalistas

PD: Esta entrada participa en la Edición 4.123  del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Eulerianos.

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