Seguro que alguna vez habéis visto alguna demostración de esas de que 0=1. En particular si 0=1 se deduce fácilmente que a=b ya que si multiplicamos ambos miembros de la igualdad por b-a nos queda que 0=b-a. Evidentemente todas estas demostraciones son incorrectas, pero mucha gente no se da cuenta de los fallos que puede tener. Voy a hacer aquí una recopilación de 9 fallos que se pueden cometer (en realidad 10 ya que en el caso quinto se explica otro), mostrando una demostración con cada tipo de fallo. La octava me la he inventado yo mientras escribía esta entrada pero el resto son ya conocidas y pueden encontrarse en varias páginas web. Si se te ocurre/conoces alguna que cometa un error distinto a los que voy a describir, no dudes en comentarlo para que la incluya!!

Primera demostración.

Esta es seguramente la más clásica. Sea a=b=1. Entonces:

a = b Multiplicamos por a
= ab Restamos b²
a² - b² = ab - b² Reescribimos como suma por diferencia y sacamos factor común
(a - b)(a + b) = b(a - b) Simplificamos (a-b)
a + b = b Y como a=b=1
2 = 1

¿Encontráis el fallo? Si no, pincha en mostrar para verlo.

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Segunda demostración.

Veamos ahora que 4=5 (y restando 4 obtendríamos que 0=1).

16-36 = 25-45 Sumamos 81/4
16-36+81/4 = 25-45+81/4 Si observamos que son cuadrados de una diferencia los podemos poner como
(4-9/2)² = (5-9/2)² Quitando cuadrados
4-9/2 = 5-9/2 Sumamos 9/2
4 = 5

¿Dónde está el fallo?

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Tercera demostración.

Vamos a ver ahora que 1=-1. Ojo, voy a usar números complejos. Tenemos que

\displaystyle{\frac{1}{-1}=\frac{-1}{1}}.

Aplicando raíces cuadradas

\displaystyle{\sqrt{\frac{1}{-1}}=\sqrt{\frac{-1}{1}}},

es decir

\displaystyle{\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}}=\frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{1}}}.

Por definición de i

\displaystyle{\frac{1}{i}=\frac{i}{1}}.

Si a/b=c/d se tiene que ad=bc y por lo tanto en nuestro caso tenemos que

\displaystyle{1=i^2=-1}.

¿En qué falla esto ahora?

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Cuarta demostración.

Vamos a demostrar ahora que 1<0. Para ello cojamos x un número cualquiera entre 0 y 1. Por ejemplo nos valdría x=0,5. Tenemos entonces que

x<1

Como x y 1 son positivos, podemos tomar logaritmos. Ahora bien, logaritmo es una función creciente (si a es menor que b, log(a) es menor que log(b)) y el logaritmo de 1 es 0 tenemos que

log(x)<0.

Si dividimos entre log(x) tendremos finalmente que

1<0.

¿Dónde está el fallo ahora?

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Quinta demostración.

Esta demostración es quizá la más tonta de todas, el primer paso es escribir:

0=0+0+0+0+0+0+...

que se puede escribir también como

0=(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+...

que quitando paréntesis y volviéndolos a poner se nos queda como

0=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+...

y por tanto

0=1+0+0+0+0+0+0+...=1.

¿Sabéis donde falla? Si no, pulsa en mostrar para averiguarlo:

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Sexta demostración.

En vez de demostrar que 1=0 vamos a demostrar que todos los números naturales son iguales, es decir, que 1=2=3=4=... En particular, si 1=2, restando 1 se obtendría que 1=0. Para ello vamos a considerar los siguientes conjuntos

A(n)={1,2,3,...,n},

es decir, A(1)={1}, A(5)={1,2,3,4,5} y así. Pues bien, si demostramos que para todo n, A(n) tiene un solo elemento habremos demostrado lo que queríamos. Y para ver esto, lo haremos por inducción:

Caso n=1. Efectivamente A(1)={1} tiene un solo elemento.

Supongamos que A(n) tiene un solo elemento. Veamos ahora que A(n+1) tiene un solo elemento.

Sean a y b dos elementos de A(n+1). Esto quiere decir que tanto a y b son menores o iguales a n+1 y por lo tanto a-1 y b-1 son menores o iguales a n. De aquí se deduce que a-1 y b-1 están en el conjunto A(n) que por hipótesis de inducción tiene tan solo un elemento por lo que son iguales, es decir

a-1=b-1

y por lo tanto se tiene que a=b por lo que hemos demostrado que todos los elementos de A(n+1) son iguales y con ello terminamos la prueba.

¿Ves donde está el fallo en esta ocasión? Piénsatelo que no es difícil, peor bueno, a continuación lo explico:

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Séptima demostración.

Vamos a ver ahora que 1=2. Ojo, tenéis que saber derivar para seguir esta demostración.

Sea x un número natural. Podemos escribir entonces

x=1+1+1+....+1 poniendo x términos.

Multiplicando por x

x²=x+x+x+....+x de nuevo con x términos

Derivamos

2x=1+1+1+...+1

y como tenemos x términos,

2x=x.

Dividiendo entre x tenemos que

2=1.

¿Dónde está el fallo ahora?

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Octava demostración.

Para entender esta demostración debes de saber integrar. Vamos a ver en este caso que -1=0. Para empezar sabemos que

\displaystyle{\int \frac{1}{x} dx=log(x)}

donde log(x) es el logaritmo neperiano de x. Por otro lado podemos escribir

\displaystyle{\int \frac{1}{x} dx=\int \frac{x}{x^2}dx.}

Vamos a resolver ahora la segunda integral. Aplicando la fórmula de integración por partes

\displaystyle{\int udv=uv-\int vdu}

tomando

\displaystyle{u=x\text{ y }dv=\frac{1}{x^2}}

tenemos que

\displaystyle{du=dx\text{ y }v=\frac{-1}{x}}

y por lo tanto

\displaystyle{\int\frac{x}{x^2}dx=-1-\int\frac{-1}{x}dx=-1+\int\frac{1}{x}dx=-1+log(x).}

Como esta integral era la misma que la integral inicial, llegamos a la conclusión de que

log(x)=-1+log(x)

y por lo tanto, restando log(x) obtenemos que

0=-1.

¿Sabes donde está el fallo ahora?

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Novena demostración.

Vamos a ver ahora que 1=0,01. Consideremos metros y centímetros

1m=100cm=(10cm)²=(0,1m)²=0,01m

así que

1m=0,01m

y por lo tanto

1=0,01.

¿Cuál es el problema ahora?

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Esta entrada forma parte de la V Edición del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión esta semana es Byron David con su blog Ciencia.

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