Seguro que alguna vez habéis visto alguna demostración de esas de que 0=1. En particular si 0=1 se deduce fácilmente que a=b ya que si multiplicamos ambos miembros de la igualdad por b-a nos queda que 0=b-a. Evidentemente todas estas demostraciones son incorrectas, pero mucha gente no se da cuenta de los fallos que puede tener. Voy a hacer aquí una recopilación de 9 fallos que se pueden cometer (en realidad 10 ya que en el caso quinto se explica otro), mostrando una demostración con cada tipo de fallo. La octava me la he inventado yo mientras escribía esta entrada pero el resto son ya conocidas y pueden encontrarse en varias páginas web. Si se te ocurre/conoces alguna que cometa un error distinto a los que voy a describir, no dudes en comentarlo para que la incluya!!

Primera demostración.

Esta es seguramente la más clásica. Sea a=b=1. Entonces:

a = b Multiplicamos por a
= ab Restamos b²
a² - b² = ab - b² Reescribimos como suma por diferencia y sacamos factor común
(a - b)(a + b) = b(a - b) Simplificamos (a-b)
a + b = b Y como a=b=1
2 = 1

¿Encontráis el fallo? Si no, pincha en mostrar para verlo.

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Segunda demostración.

Veamos ahora que 4=5 (y restando 4 obtendríamos que 0=1).

16-36 = 25-45 Sumamos 81/4
16-36+81/4 = 25-45+81/4 Si observamos que son cuadrados de una diferencia los podemos poner como
(4-9/2)² = (5-9/2)² Quitando cuadrados
4-9/2 = 5-9/2 Sumamos 9/2
4 = 5

¿Dónde está el fallo?

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Tercera demostración.

Vamos a ver ahora que 1=-1. Ojo, voy a usar números complejos. Tenemos que

\displaystyle{\frac{1}{-1}=\frac{-1}{1}}.

Aplicando raíces cuadradas

\displaystyle{\sqrt{\frac{1}{-1}}=\sqrt{\frac{-1}{1}}},

es decir

\displaystyle{\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}}=\frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{1}}}.

Por definición de i

\displaystyle{\frac{1}{i}=\frac{i}{1}}.

Si a/b=c/d se tiene que ad=bc y por lo tanto en nuestro caso tenemos que

\displaystyle{1=i^2=-1}.

¿En qué falla esto ahora?

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Cuarta demostración.

Vamos a demostrar ahora que 1<0. Para ello cojamos x un número cualquiera entre 0 y 1. Por ejemplo nos valdría x=0,5. Tenemos entonces que

x<1

Como x y 1 son positivos, podemos tomar logaritmos. Ahora bien, logaritmo es una función creciente (si a es menor que b, log(a) es menor que log(b)) y el logaritmo de 1 es 0 tenemos que

log(x)<0.

Si dividimos entre log(x) tendremos finalmente que

1<0.

¿Dónde está el fallo ahora?

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Quinta demostración.

Esta demostración es quizá la más tonta de todas, el primer paso es escribir:

0=0+0+0+0+0+0+...

que se puede escribir también como

0=(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+...

que quitando paréntesis y volviéndolos a poner se nos queda como

0=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+...

y por tanto

0=1+0+0+0+0+0+0+...=1.

¿Sabéis donde falla? Si no, pulsa en mostrar para averiguarlo:

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Sexta demostración.

En vez de demostrar que 1=0 vamos a demostrar que todos los números naturales son iguales, es decir, que 1=2=3=4=... En particular, si 1=2, restando 1 se obtendría que 1=0. Para ello vamos a considerar los siguientes conjuntos

A(n)={1,2,3,...,n},

es decir, A(1)={1}, A(5)={1,2,3,4,5} y así. Pues bien, si demostramos que para todo n, A(n) tiene un solo elemento habremos demostrado lo que queríamos. Y para ver esto, lo haremos por inducción:

Caso n=1. Efectivamente A(1)={1} tiene un solo elemento.

Supongamos que A(n) tiene un solo elemento. Veamos ahora que A(n+1) tiene un solo elemento.

Sean a y b dos elementos de A(n+1). Esto quiere decir que tanto a y b son menores o iguales a n+1 y por lo tanto a-1 y b-1 son menores o iguales a n. De aquí se deduce que a-1 y b-1 están en el conjunto A(n) que por hipótesis de inducción tiene tan solo un elemento por lo que son iguales, es decir

a-1=b-1

y por lo tanto se tiene que a=b por lo que hemos demostrado que todos los elementos de A(n+1) son iguales y con ello terminamos la prueba.

¿Ves donde está el fallo en esta ocasión? Piénsatelo que no es difícil, peor bueno, a continuación lo explico:

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Séptima demostración.

Vamos a ver ahora que 1=2. Ojo, tenéis que saber derivar para seguir esta demostración.

Sea x un número natural. Podemos escribir entonces

x=1+1+1+....+1 poniendo x términos.

Multiplicando por x

x²=x+x+x+....+x de nuevo con x términos

Derivamos

2x=1+1+1+...+1

y como tenemos x términos,

2x=x.

Dividiendo entre x tenemos que

2=1.

¿Dónde está el fallo ahora?

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Octava demostración.

Para entender esta demostración debes de saber integrar. Vamos a ver en este caso que -1=0. Para empezar sabemos que

\displaystyle{\int \frac{1}{x} dx=log(x)}

donde log(x) es el logaritmo neperiano de x. Por otro lado podemos escribir

\displaystyle{\int \frac{1}{x} dx=\int \frac{x}{x^2}dx.}

Vamos a resolver ahora la segunda integral. Aplicando la fórmula de integración por partes

\displaystyle{\int udv=uv-\int vdu}

tomando

\displaystyle{u=x\text{ y }dv=\frac{1}{x^2}}

tenemos que

\displaystyle{du=dx\text{ y }v=\frac{-1}{x}}

y por lo tanto

\displaystyle{\int\frac{x}{x^2}dx=-1-\int\frac{-1}{x}dx=-1+\int\frac{1}{x}dx=-1+log(x).}

Como esta integral era la misma que la integral inicial, llegamos a la conclusión de que

log(x)=-1+log(x)

y por lo tanto, restando log(x) obtenemos que

0=-1.

¿Sabes donde está el fallo ahora?

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Novena demostración.

Vamos a ver ahora que 1=0,01. Consideremos metros y centímetros

1m=100cm=(10cm)²=(0,1m)²=0,01m

así que

1m=0,01m

y por lo tanto

1=0,01.

¿Cuál es el problema ahora?

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Esta entrada forma parte de la V Edición del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión esta semana es Byron David con su blog Ciencia.

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45 Respuestas a “Demostraciones de que 1=0 y similares”
  1. Me ha gustado mucho esta entrada, algunos de estos errores no los conocía, otros por desgracia sí, pues no sería la primera vez (ni será la última) que haciendo alguna simplificación o calculo en un examen caigo en alguno de estos errores.

    Para mi, posiblemente una de las mejores entradas que he visto en este blog. ¡Enhorabuena!

    Matemáticas sencillas, comprensibles sin ser demostraciones excesivamente laboriosas tratando algo bastante curioso y entretenido bajo mi punto de vista.

  2. Demostraciones de que 1=0 y similares...

    [c&p] Seguro que alguna vez habéis visto alguna demostración de esas de que 0=1. En particular si 0=1 se deduce fácilmente que a=b ya que si multiplicamos ambos miembros de la igualdad por b-a nos queda que 0=b-a.......

  3. Esta demostración de que "1.9 periodo" (1.99999...) es igual a 2 me la enseñaron hace muchos años. Vale para cualquier número de la forma "x.9999..."

    La demonstración se basa en que ((x*10)-x)/9 = x.

    Tomamos el número 1.9999...., y lo multiplicamos por 10.

    a) 1.9999... * 10 = 19.9999....

    Restamos 1.9999... a ambos lados

    b) (1.9999... * 10) - 1.9999... = 19.9999... - 1.9999....

    En el primer lado, tenemos 9 veces 1.999...; en el segundo lado, tenemos 18.

    c) 1.9999... * 9 = 18

    Dividiendo por 9 en ambos lados:

    d) 1.9999... = 2

    Como queríamos demostrar.

  4. 1=0 en alemán: „einmal ist keinmal”: "una vez no es nada”.

  5. @Fernando
    Hola Fernando. Resulta que tu demostración es correcta, 1.99999999999.... = 2. Realmente 1.99999999999999999... es 2 mal escrito.

    Saludos!!!

  6. buenisima entrada. ME apunto a este blog. Por cierto en la segunda demostración tienes un fallo en el penultimo paso. En el segundo miembro pones 4, y es 5.

  7. @Adrian
    4-9/2, y tienes que poner 5-9/2.

  8. 1.99999999999999999… nuncá podrá ser 2. Siempre le faltará 0,..1.

  9. Asdf te equivocas, el 9 periodo es lo mismo que el siguiente entero más próximo, ya que ese 0,...1 que dices que falta está en el infinito. Mira, esta es una demostración bastante tonta de que 0,999999 es 1:

    1/3 = 0.3333333....
    Multiplica por 3
    1 = 0.9999999...

    Por cierto, nunca te ha ocurrido que haces una operación con una calculadora y sale un 9 periodo cuando tu tienes la certeza de que el resultado debe ser un entero?

  10. @Asdf
    Hombre, si para ser dos, el uno con nueve periodico, tiene que esperar toda la eternidad a que le den el infinitesimal, va apañado, es que los hay sin suerte... (sin suerte periódica :D)

  11. @Adrian
    Gracias por el aviso, ahora mismo lo corrijo.

  12. @jedc
    Completamente de acuerdo. Es una cuestión bien conocida de teoría de números que la representación decimal de los números no es única, así que por supuesto el número uno se puede escribir como 1 o como 0.9999999 periodo. Soy matemático y sé de qué hablo.

  13. Para ser exactos, cada número real se representa de forma única en forma decimal que no termina con un periodo de 9.

  14. Esta entrada esta muy buena :D

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  15. Bueno, a ver si os gusta mi explicacion de pq 1.9999999..... = 2

    El cuerpo de los numeros reales es continuo, lo cual significa que se representa como una recta continua y no como puntos (aun ampliando mucho una parte de la linea siempre seria una linea, no puntos). Y al final, entre 2 puntos cualesquiera que representen a dos numeros reales hay INFINITOS puntos (un segmento de recta) luego entre 2 numeros reales SIEMPRE hay infinitos numeros reales.

    Luego, por ser continuo, si 1.9999999... no es = 2 entre 1.9 periodo y 2 debiera haber infinitos numeros reales....

    Ahora, por 200000 euros la respuesta correcta me decis numeros mayores que 1.99... y menores q 2.... efectivamente, no hay ninguno, luego son el mismo numero/punto.

    Vamos, entre 1.99... (300 millones de 9's)..9 y 2 hay infinitos numeros reales pq son numeros diferentes, pero cuando intruducimos el termino 'infinito' todo cambia...

  16. Ignatius, quizas tengas razón pero hay algo en lo que te equivocas, entre 1 y 2 no hay INFINITOS numeros.
    La palabra infinito esta determinado por algo que no tiene fin, y el fin en este caso es el nº 2 empezando de 1 claro.
    Buen post.

  17. Fernando, entre 1 y 2 hay infinitos números. Si quieres ver un poco más qué es el infinito puedes echarle un vistazo a algunas entradas en este blog, por ejemplo:

    http://www.zurditorium.com/el-hotel-infinito-de-hilbert
    http://www.zurditorium.com/el-tamano-de-los-conjuntos

  18. Hola alguien sabrá por casualidad un acertijo que me vino a la cabeza leyendo estos de cuando ya era pequeño, que consistía en demostrar que 10 era 1. Se hacia de alguna forma de que 10 = 9,99999 luego se restaba 9 a cada lado y te daba que 10 = 0,9999 o algo así ¿os suena? es que no me acuerdo bien y en Internet es difícil buscar eso.

    Saludo

  19. Ola a todos tengo una duda... un profesor de matematica me dejo este trabajo, pero mas ke trabajo es como un reto, y la verdad estoy cabezon xD
    Me piden DEMOSTRAR ke 0=0 ( cero igual a cero ) y ke ( este es otro problema ) 1 es diferente de cero
    saludos si me pudieran ayudar seria xvr !

  20. Para demostrar que 0 es igual a 0 no hay que hacer nada, en esa parte te estaría tomando el pelo. Y demostrar que 1 es distinto de 0, pues tendrías que decirnos cuales son tus premisas, cómo tienes definido el 0 y como el 1. Sin más datos no te podemos ayudar.

  21. Diganme, por favor si esta demostración tiene algún fallo, pues no acabo de comprender como me ha salido lo que me ha salido:
    [URL=http://img444.imageshack.us/i/96288907.jpg/][IMG]http://img444.imageshack.us/img444/4944/96288907.jpg[/IMG][/URL]

    [URL=http://img88.imageshack.us/i/sc0000o.jpg/][IMG]http://img88.imageshack.us/img88/3910/sc0000o.jpg[/IMG][/URL]

  22. DEMOSTRAMOS QUE 1 + 1 = 3

    Empezamos con la siguiente igualdad……

    4 - 10 = 9 - 15

    4 – 10 + (5/2) ² = 9 – 15 + (5/2) ²

    2² - 2 * 2 * 5/2 + (5/2) ² = 3² -2 * 3 * 5/2 + (5/2) ²

    (2 - 5/2) ² = (3 - 5/2)²
    _________ ________
    \/ (2 - 5/2) ² = \/(3 - 5/2)²

    2 - 5/2 = 3 - 5/2

    2 = 3 - 5/2 + 5/2

    1 + 1 = 3

  23. ignatious dice:

    rsteban:
    Mostrar ▼

  24. @Fernando:
    Lo que complica esa demostracion es que es un numero periodico y se supone ke no tiene una cifra al final (osea es de cifras infinitas), pero lo ke dices es falso por que al multiplicar por 10 tu numero periodico se recorre una cifra hacia la izquierda, dejando un hueco, x decirlo d alguna forma:
    si 1.333 lo multiplico x10 sera 13.33 y me es imposible restar el numero original 1.333 a 13.33, por que de esa forma no me daria 12 ya ke me hace falta una cifra y realmente daria 11.997,lo cual ya no es 9x, por lo tanto no puedes decir que:
    19.999...-1.999.. es igual a 9x
    por que el 9x ya no es 9, sino 8.999.., periodico
    y eso es el truco que usas en el paso b, ya que no debes hacer (ab)-a tan descuidadamente. Volviendo a ke un numero periodico tiene infinito numero de cifras, si no me equivoco Teoria de Conjuntos dice que hay Infinitos Mas grandes que otros, bueno por eso pienso que tu demostracion esta mal, Pero aun asi Gracias Fernando, realmente es una propuesta interesante y hasta divertida.
    X cierto los numeros mayores que 1.99 y menores de 2 son Sin-cuenta, jajaja

  25. @Isma:
    Hola Isma, entre 1.999.... (9 periodo) y 2 no hay infinitos números. Fernando tiene razón al decir que de hecho son el mismo número. Al multiplicar por 10 no queda el hueco al haber infinitos decimales iguales a 9. En el fondo lo que pasa es que 1.999999.... no es una forma de escribir un número, sería 2 mal escrito.

    Un saludo.

  26. @Asdf:
    pero es que 0.0000000000000000000...1 es el límite de 1/(10^n) cuando n tiende a infinito, es decir, es lo mismo que 0.

  27. @xabio:
    ¿Infinitos ceros y después un 1? ¿Has pensado bien lo que dices? Eso no es ningún número, y el límite que dices es 0.

  28. Eso digo, 0.0000000000...01 es 0. Por lo tanto 0.99999999999999 es 1.

  29. Ah, ahora entiendo a quién contestabas y veo lo que dices, pero no te estabas expresando muy bien, por eso (junto a las horas que son) no te había entendido.

  30. @xabio:
    Ahh!! tienes razón desde el punto de vista de un limite, ahora me queda claro,
    gracias a ti y a to2 los de+

  31. Me encanta su blog, tiene muy interesantes secciones y muchos de las demostraciones ya las conocia otras ni idea

  32. @Fernando:
    Otra demostración:
    1.99999....=1+9*10^(-1)+9*10^(-2)+9*10^(-3)+...
    Ahora 9*10^(-1)+9*10^(-2)+9*10^(-3)+...=-9+9*10^(0)+9*10^(-1)+9*10^(-2)+...

    9*10^(0)+9*10^(-1)+9*10^(-2)+... es una serie gemetrica con razón r=1/10<1 por lo tanto converge y su suma es 9/(1-1/10)=10.

    En resumen 1.99999....=1-9+10=2.

  33. Que buena información, que buen posteo!!!
    Felicitaciones!

    Mauricio, Argentina.

  34. Excelentes demostraciones, mi hermano es físico puro del 10 ciclo, y ni el pudo encontrar los errores.
    Excelente aporte, tambien tengo un primo que es Matematico Puro y solo encontro el error en la primera demostracion.
    Y mi tio cientifico nuclear, no me hizo caso.

  35. el 1 como elemento, "materia",el o, como la nada.

  36. @frank:
    que cursilería

  37. @rodrigo:
    ttelc.r mirate....

  38. Perdonad mi ignorancia si mi pregunta es una tontería, pero no entiendo donde van o porqué desaparecen el -36 i el -45 del segundo al tercer paso de la segunda demostración.

    16-36 = 25-45
    16-36+81/4 = 25-45+81/4
    (4-9/2)² = (5-9/2)²
    4-9/2 = 5-9/2
    4 = 5

  39. @Adrian:
    Me podrías explicar cómo se pasa del segundo al tercer paso?
    Es que no entiendo este paso.
    Gracias!

  40. @Lluis:
    Hola Luis, bueno yo no hice eso, pero igual te respondo.
    Del segundo al tercer paso se ocupa el cuadrado de binomio o sea
    (x-y)² = x²-2xy+x², en el lado izquierdo x=4, y=9/2, en el lado derecho x=5, y=9/2.
    Si desarrolla la tercera linea de esa forma llegas a la segunda, bueno acá el autor ocupo ese recurso para pasar de la segunda a la tercera linea.

  41. [...] Hay muchas pruebas de la identidad 1=0, por ejemplo las dadas en el blog Zurditorium en la entrada titulada Demostraciones de que 1=0 y similares.  [...]

  42. Amigos, creo que mal, no se puede generar demostraciones violando las reglas, si de cada ecuación que generas cometes errores puedes decir cualquier cosa, a mi me parece mal, deberían llamarse errores...

  43. @Lluis:
    Te lo explico yo, del tercero no se pasa al cuarto paso.

    Lo cierto es que la tercera igualdad implica que:

    4-9/2 = 5-9/2 ó que 4-9/2 = -5+9/2 (una de las dos)

    Y en este caso es la segunda.

    4-9/2 = -1/2 = 9/2 -5

    recuerda que X^2 = Y^2 no implica X=Y sino X=Y ó X=-Y

    ten en cuenta que si X=-Y se cumple tambien que (-Y)^2 = Y^2, no sólo con X=Y

  44. @syd:
    En el artículo pone claramente:

    Evidentemente todas estas demostraciones son incorrectas

  45. Muy buena tu publicación! Pero tengo una pregunta. ¿Dónde podría encontrar estas demostraciones en un libro?

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