Demostraciones de que 1=0 y similares

Seguro que alguna vez habéis visto alguna demostración de esas de que 0=1. En particular si 0=1 se deduce fácilmente que a=b ya que si multiplicamos ambos miembros de la igualdad por b-a nos queda que 0=b-a. Evidentemente todas estas demostraciones son incorrectas, pero mucha gente no se da cuenta de los fallos que puede tener. Voy a hacer aquí una recopilación de 9 fallos que se pueden cometer (en realidad 10 ya que en el caso quinto se explica otro), mostrando una demostración con cada tipo de fallo. La octava me la he inventado yo mientras escribía esta entrada pero el resto son ya conocidas y pueden encontrarse en varias páginas web. Si se te ocurre/conoces alguna que cometa un error distinto a los que voy a describir, no dudes en comentarlo para que la incluya!!

Primera demostración.

Esta es seguramente la más clásica. Sea a=b=1. Entonces:

a = b Multiplicamos por a
= ab Restamos b²
a² – b² = ab – b² Reescribimos como suma por diferencia y sacamos factor común
(a – b)(a + b) = b(a – b) Simplificamos (a-b)
a + b = b Y como a=b=1
2 = 1

¿Encontráis el fallo? Si no, pincha en mostrar para verlo.

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En esta ocasión el fallo se debe a que hemos dividido entre 0 y 0/0 es una indeterminación por lo que nos puede salir cualquier cosa. ¿Cuándo ha pasado esto? Al simplificar el (a-b). Al hacer eso hemos dividido entre 0 ambos miembros de la igualdad.

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Segunda demostración.

Veamos ahora que 4=5 (y restando 4 obtendríamos que 0=1).

16-36 = 25-45 Sumamos 81/4
16-36+81/4 = 25-45+81/4 Si observamos que son cuadrados de una diferencia los podemos poner como
(4-9/2)² = (5-9/2)² Quitando cuadrados
4-9/2 = 5-9/2 Sumamos 9/2
4 = 5

¿Dónde está el fallo?

[spoiler]

El fallo está al quitar los cuadrados ya que al hacer esto en realidad estamos haciendo raíces cuadradas y sabemos que pueden ser 2, una negativa y otra positiva. En nuestro caso al quitar cuadrados nos ha quedado en un lado la raíz positiva y en el otro la raíz negativa. Pasaría lo mismo por ejemplo si tuviésemos que

(1)²=(-1)²

y quitásemos cuadrados.

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Tercera demostración.

Vamos a ver ahora que 1=-1. Ojo, voy a usar números complejos. Tenemos que

$latex \displaystyle{\frac{1}{-1}=\frac{-1}{1}}.$

Aplicando raíces cuadradas

$latex \displaystyle{\sqrt{\frac{1}{-1}}=\sqrt{\frac{-1}{1}}},$

es decir

$latex \displaystyle{\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}}=\frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{1}}}.$

Por definición de i

$latex \displaystyle{\frac{1}{i}=\frac{i}{1}}.$

Si a/b=c/d se tiene que ad=bc y por lo tanto en nuestro caso tenemos que

$latex \displaystyle{1=i^2=-1}.$

¿En qué falla esto ahora?

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Fallamos al aplicar que

$latex \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

ya que esto solo es cierto si a y b son números positivos. ¿Por qué falla esto con números negativos? Pues porque al hacerlo con algún número negativo puede pasar que al separar en dos raíces, una de ellas tuviese que ser la misma pero con signo contrario. En concreto, en nuestro caso, en la expresión

$latex \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}},$

la raíz del denominador tendría que haber sido negativa, es decir, habría sido -i.

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Cuarta demostración.

Vamos a demostrar ahora que 1<0. Para ello cojamos x un número cualquiera entre 0 y 1. Por ejemplo nos valdría x=0,5. Tenemos entonces que

x<1

Como x y 1 son positivos, podemos tomar logaritmos. Ahora bien, logaritmo es una función creciente (si a es menor que b, log(a) es menor que log(b)) y el logaritmo de 1 es 0 tenemos que

log(x)<0.

Si dividimos entre log(x) tendremos finalmente que

1<0.

¿Dónde está el fallo ahora?

[spoiler]

En el último paso. Si dividimos entre un número negativo, la desigualdad se debe invertir y en nuestro caso, log(x) es negativo ya que x<1. De igual forma, si tenemos la desigualdad

1<2, al dividir entre -1 debemos de invertir la desigualdad obteniendo entonces -1>-2.

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Quinta demostración.

Esta demostración es quizá la más tonta de todas, el primer paso es escribir:

0=0+0+0+0+0+0+…

que se puede escribir también como

0=(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+…

que quitando paréntesis y volviéndolos a poner se nos queda como

0=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+…

y por tanto

0=1+0+0+0+0+0+0+…=1.

¿Sabéis donde falla? Si no, pulsa en mostrar para averiguarlo:

[spoiler]

La propiedad asociativa dice que

(a+b)+c=a+(b+c),

es decir, al sumar podemos agrupar los números como queramos. Sin embargo esto lo podremos hace siempre que tengamos una cantidad finita de paréntesis, no se puede hacer con una cantidad infinita de estos y es ahí donde falla la demostración al pasar de

0=(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+…

a

0=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+…

Como curiosidad comentar que aunque sea cierto que

a+b=b+a,

tampoco podemos cambiar el orden de infinitos números. Por ejemplo si considerásemos la sucesión

$$!-1,\frac{1}{2},-\frac{1}{3},\frac{1}{4},-\frac{1}{5},\dots,(-1)^n\frac{1}{n},\dots$$

resulta que si la sumamos en el orden que queramos podríamos obtener el número que se nos antoje. Así podríamos obtener por ejemplo que $$\pi=1=\sqrt{2}=-5$$ o lo que quisiéramos.

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Sexta demostración.

En vez de demostrar que 1=0 vamos a demostrar que todos los números naturales son iguales, es decir, que 1=2=3=4=… En particular, si 1=2, restando 1 se obtendría que 1=0. Para ello vamos a considerar los siguientes conjuntos

A(n)={1,2,3,…,n},

es decir, A(1)={1}, A(5)={1,2,3,4,5} y así. Pues bien, si demostramos que para todo n, A(n) tiene un solo elemento habremos demostrado lo que queríamos. Y para ver esto, lo haremos por inducción:

Caso n=1. Efectivamente A(1)={1} tiene un solo elemento.

Supongamos que A(n) tiene un solo elemento. Veamos ahora que A(n+1) tiene un solo elemento.

Sean a y b dos elementos de A(n+1). Esto quiere decir que tanto a y b son menores o iguales a n+1 y por lo tanto a-1 y b-1 son menores o iguales a n. De aquí se deduce que a-1 y b-1 están en el conjunto A(n) que por hipótesis de inducción tiene tan solo un elemento por lo que son iguales, es decir

a-1=b-1

y por lo tanto se tiene que a=b por lo que hemos demostrado que todos los elementos de A(n+1) son iguales y con ello terminamos la prueba.

¿Ves donde está el fallo en esta ocasión? Piénsatelo que no es difícil, peor bueno, a continuación lo explico:

[spoiler]

El fallo está en que no es cierto que si a-1 y b-1 son menores o iguales que n, entonces estén en el conjunto A(n). ¿Por qué? Porque no todos los números menores que n están en A(n). Si por ejemplo a fuese 1, a-1 sería 0 y por tanto no estaría en A(n).

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Séptima demostración.

Vamos a ver ahora que 1=2. Ojo, tenéis que saber derivar para seguir esta demostración.

Sea x un número natural. Podemos escribir entonces

x=1+1+1+….+1 poniendo x términos.

Multiplicando por x

x²=x+x+x+….+x de nuevo con x términos

Derivamos

2x=1+1+1+…+1

y como tenemos x términos,

2x=x.

Dividiendo entre x tenemos que

2=1.

¿Dónde está el fallo ahora?

[spoiler]

El fallo está en que la igualdad x²=x+x+x+….+xsolo se da en el caso de que x sea el número natural prefijado. Si vemos esas expresiones como funciones, tendríamos 2 funciones distintas y por lo tanto sus derivadas no tienen por que ser las mismas. Veamos otro ejemplo para que se vea más claro el error. Tenemos que

sen(0)=0=0²,

es decir, las funciones sen(x) y x² coinciden en el punto 0. Sin embargo sus derivadas no tienen por qué coincidir y efectivamente, la derivada de sen(x) es cos(x) que en 0 vale 1 y la de x² es 2x que en 0 vale 0.

[/spoiler]

Octava demostración.

Para entender esta demostración debes de saber integrar. Vamos a ver en este caso que -1=0. Para empezar sabemos que

$latex \displaystyle{\int \frac{1}{x} dx=log(x)}$

donde log(x) es el logaritmo neperiano de x. Por otro lado podemos escribir

$latex \displaystyle{\int \frac{1}{x} dx=\int \frac{x}{x^2}dx.}$

Vamos a resolver ahora la segunda integral. Aplicando la fórmula de integración por partes

$latex \displaystyle{\int udv=uv-\int vdu}$

tomando

$latex \displaystyle{u=x\text{ y }dv=\frac{1}{x^2}}$

tenemos que

$latex \displaystyle{du=dx\text{ y }v=\frac{-1}{x}}$

y por lo tanto

$latex \displaystyle{\int\frac{x}{x^2}dx=-1-\int\frac{-1}{x}dx=-1+\int\frac{1}{x}dx=-1+log(x).}$

Como esta integral era la misma que la integral inicial, llegamos a la conclusión de que

$latex log(x)=-1+log(x)$

y por lo tanto, restando log(x) obtenemos que

$latex 0=-1.$

¿Sabes donde está el fallo ahora?

[spoiler]

El fallo está en que una función no tiene una única primitiva (integral) sino que tiene infinitas. En los pasos anteriores hemos dicho que la integral de 1/x era log(x). Esto es cierto a medias, ya que habrán muchas primitivas más que serán de la forma log(x)+K donde K es una constante. Así que lo que hemos hecho en esta ocasión ha sido calcular una primitiva de dos formas distintas, y de hecho nos han salido 2 primitivas distintas que difieren en una constante.Así que cuidado, 2 primitivas de una misma función no tienen por qué ser iguales. Ese ha sido el fallo en esta ocasión.

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Novena demostración.

Vamos a ver ahora que 1=0,01. Consideremos metros y centímetros

1m=100cm=(10cm)²=(0,1m)²=0,01m

así que

1m=0,01m

y por lo tanto

1=0,01.

¿Cuál es el problema ahora?

[spoiler]

El problema es que si trabajamos con unidades de medida tenemos que hacerlo bien y no podemos escribir cosas como100cm=(10cm)²ya que en realidad

(10cm)²=100cm²

que no es una medida de longitud sino de superficie. Así que directamente la igualdad 100cm=(10cm)² no tiene sentido.

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Esta entrada forma parte de la V Edición del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión esta semana es Byron David con su blog Ciencia.

45 Responses to “Demostraciones de que 1=0 y similares”

  1. Javi dice:

    Me ha gustado mucho esta entrada, algunos de estos errores no los conocía, otros por desgracia sí, pues no sería la primera vez (ni será la última) que haciendo alguna simplificación o calculo en un examen caigo en alguno de estos errores.

    Para mi, posiblemente una de las mejores entradas que he visto en este blog. ¡Enhorabuena!

    Matemáticas sencillas, comprensibles sin ser demostraciones excesivamente laboriosas tratando algo bastante curioso y entretenido bajo mi punto de vista.

  2. Demostraciones de que 1=0 y similares…

    [c&p] Seguro que alguna vez habéis visto alguna demostración de esas de que 0=1. En particular si 0=1 se deduce fácilmente que a=b ya que si multiplicamos ambos miembros de la igualdad por b-a nos queda que 0=b-a…….

  3. Fernando dice:

    Esta demostración de que “1.9 periodo” (1.99999…) es igual a 2 me la enseñaron hace muchos años. Vale para cualquier número de la forma “x.9999…”

    La demonstración se basa en que ((x*10)-x)/9 = x.

    Tomamos el número 1.9999…., y lo multiplicamos por 10.

    a) 1.9999… * 10 = 19.9999….

    Restamos 1.9999… a ambos lados

    b) (1.9999… * 10) – 1.9999… = 19.9999… – 1.9999….

    En el primer lado, tenemos 9 veces 1.999…; en el segundo lado, tenemos 18.

    c) 1.9999… * 9 = 18

    Dividiendo por 9 en ambos lados:

    d) 1.9999… = 2

    Como queríamos demostrar.

  4. eqrwew dice:

    1=0 en alemán: „einmal ist keinmal”: “una vez no es nada”.

  5. Carlos dice:

    @Fernando
    Hola Fernando. Resulta que tu demostración es correcta, 1.99999999999…. = 2. Realmente 1.99999999999999999… es 2 mal escrito.

    Saludos!!!

  6. Adrian dice:

    buenisima entrada. ME apunto a este blog. Por cierto en la segunda demostración tienes un fallo en el penultimo paso. En el segundo miembro pones 4, y es 5.

  7. Adrian dice:

    @Adrian
    4-9/2, y tienes que poner 5-9/2.

  8. Asdf dice:

    1.99999999999999999… nuncá podrá ser 2. Siempre le faltará 0,..1.

  9. jedc dice:

    Asdf te equivocas, el 9 periodo es lo mismo que el siguiente entero más próximo, ya que ese 0,…1 que dices que falta está en el infinito. Mira, esta es una demostración bastante tonta de que 0,999999 es 1:

    1/3 = 0.3333333….
    Multiplica por 3
    1 = 0.9999999…

    Por cierto, nunca te ha ocurrido que haces una operación con una calculadora y sale un 9 periodo cuando tu tienes la certeza de que el resultado debe ser un entero?

  10. Uri dice:

    @Asdf
    Hombre, si para ser dos, el uno con nueve periodico, tiene que esperar toda la eternidad a que le den el infinitesimal, va apañado, es que los hay sin suerte… (sin suerte periódica :D)

  11. Carlos dice:

    @Adrian
    Gracias por el aviso, ahora mismo lo corrijo.

  12. Javier dice:

    @jedc
    Completamente de acuerdo. Es una cuestión bien conocida de teoría de números que la representación decimal de los números no es única, así que por supuesto el número uno se puede escribir como 1 o como 0.9999999 periodo. Soy matemático y sé de qué hablo.

  13. Carlos dice:

    Para ser exactos, cada número real se representa de forma única en forma decimal que no termina con un periodo de 9.

  14. Angelverde dice:

    Esta entrada esta muy buena 😀

    [spoiler]
    Muy buena de verdad 😀 😀
    [/spoiler]

  15. ignatius dice:

    Bueno, a ver si os gusta mi explicacion de pq 1.9999999….. = 2

    El cuerpo de los numeros reales es continuo, lo cual significa que se representa como una recta continua y no como puntos (aun ampliando mucho una parte de la linea siempre seria una linea, no puntos). Y al final, entre 2 puntos cualesquiera que representen a dos numeros reales hay INFINITOS puntos (un segmento de recta) luego entre 2 numeros reales SIEMPRE hay infinitos numeros reales.

    Luego, por ser continuo, si 1.9999999… no es = 2 entre 1.9 periodo y 2 debiera haber infinitos numeros reales….

    Ahora, por 200000 euros la respuesta correcta me decis numeros mayores que 1.99… y menores q 2…. efectivamente, no hay ninguno, luego son el mismo numero/punto.

    Vamos, entre 1.99… (300 millones de 9’s)..9 y 2 hay infinitos numeros reales pq son numeros diferentes, pero cuando intruducimos el termino ‘infinito’ todo cambia…

  16. Fernando dice:

    Ignatius, quizas tengas razón pero hay algo en lo que te equivocas, entre 1 y 2 no hay INFINITOS numeros.
    La palabra infinito esta determinado por algo que no tiene fin, y el fin en este caso es el nº 2 empezando de 1 claro.
    Buen post.

  17. Carlos dice:

    Fernando, entre 1 y 2 hay infinitos números. Si quieres ver un poco más qué es el infinito puedes echarle un vistazo a algunas entradas en este blog, por ejemplo:

    http://www.zurditorium.com/el-hotel-infinito-de-hilbert
    http://www.zurditorium.com/el-tamano-de-los-conjuntos

  18. Om3ga dice:

    Hola alguien sabrá por casualidad un acertijo que me vino a la cabeza leyendo estos de cuando ya era pequeño, que consistía en demostrar que 10 era 1. Se hacia de alguna forma de que 10 = 9,99999 luego se restaba 9 a cada lado y te daba que 10 = 0,9999 o algo así ¿os suena? es que no me acuerdo bien y en Internet es difícil buscar eso.

    Saludo

  19. rebeatle dice:

    Ola a todos tengo una duda… un profesor de matematica me dejo este trabajo, pero mas ke trabajo es como un reto, y la verdad estoy cabezon xD
    Me piden DEMOSTRAR ke 0=0 ( cero igual a cero ) y ke ( este es otro problema ) 1 es diferente de cero
    saludos si me pudieran ayudar seria xvr !

  20. Carlos dice:

    Para demostrar que 0 es igual a 0 no hay que hacer nada, en esa parte te estaría tomando el pelo. Y demostrar que 1 es distinto de 0, pues tendrías que decirnos cuales son tus premisas, cómo tienes definido el 0 y como el 1. Sin más datos no te podemos ayudar.

  21. Juan Manuel dice:

    Diganme, por favor si esta demostración tiene algún fallo, pues no acabo de comprender como me ha salido lo que me ha salido:
    [URL=http://img444.imageshack.us/i/96288907.jpg/][IMG]http://img444.imageshack.us/img444/4944/96288907.jpg[/IMG][/URL]

    [URL=http://img88.imageshack.us/i/sc0000o.jpg/][IMG]http://img88.imageshack.us/img88/3910/sc0000o.jpg[/IMG][/URL]

  22. esteban dice:

    DEMOSTRAMOS QUE 1 + 1 = 3

    Empezamos con la siguiente igualdad……

    4 – 10 = 9 – 15

    4 – 10 + (5/2) ² = 9 – 15 + (5/2) ²

    2² – 2 * 2 * 5/2 + (5/2) ² = 3² -2 * 3 * 5/2 + (5/2) ²

    (2 – 5/2) ² = (3 – 5/2)²
    _________ ________
    \/ (2 – 5/2) ² = \/(3 – 5/2)²

    2 – 5/2 = 3 – 5/2

    2 = 3 – 5/2 + 5/2

    1 + 1 = 3

  23. ignatious dice:

    rsteban:
    [spoiler]
    El problema esta en la raiz cuadrada, que tiene 2 soluciones (una positiva y una negativa) y se desprecia la correcta para la igualdad de modo que quedan a ambos lados: 1/2 y -1/2, dos numeros DIFERENTES cuyo cuadrado es 1/4… En ese punto esta el error
    [/spoiler]

  24. Isma dice:

    @Fernando:
    Lo que complica esa demostracion es que es un numero periodico y se supone ke no tiene una cifra al final (osea es de cifras infinitas), pero lo ke dices es falso por que al multiplicar por 10 tu numero periodico se recorre una cifra hacia la izquierda, dejando un hueco, x decirlo d alguna forma:
    si 1.333 lo multiplico x10 sera 13.33 y me es imposible restar el numero original 1.333 a 13.33, por que de esa forma no me daria 12 ya ke me hace falta una cifra y realmente daria 11.997,lo cual ya no es 9x, por lo tanto no puedes decir que:
    19.999…-1.999.. es igual a 9x
    por que el 9x ya no es 9, sino 8.999.., periodico
    y eso es el truco que usas en el paso b, ya que no debes hacer (ab)-a tan descuidadamente. Volviendo a ke un numero periodico tiene infinito numero de cifras, si no me equivoco Teoria de Conjuntos dice que hay Infinitos Mas grandes que otros, bueno por eso pienso que tu demostracion esta mal, Pero aun asi Gracias Fernando, realmente es una propuesta interesante y hasta divertida.
    X cierto los numeros mayores que 1.99 y menores de 2 son Sin-cuenta, jajaja

  25. Carlos dice:

    @Isma:
    Hola Isma, entre 1.999…. (9 periodo) y 2 no hay infinitos números. Fernando tiene razón al decir que de hecho son el mismo número. Al multiplicar por 10 no queda el hueco al haber infinitos decimales iguales a 9. En el fondo lo que pasa es que 1.999999…. no es una forma de escribir un número, sería 2 mal escrito.

    Un saludo.

  26. xabio dice:

    @Asdf:
    pero es que 0.0000000000000000000…1 es el límite de 1/(10^n) cuando n tiende a infinito, es decir, es lo mismo que 0.

  27. Carlos dice:

    @xabio:
    ¿Infinitos ceros y después un 1? ¿Has pensado bien lo que dices? Eso no es ningún número, y el límite que dices es 0.

  28. xabio dice:

    Eso digo, 0.0000000000…01 es 0. Por lo tanto 0.99999999999999 es 1.

  29. Carlos dice:

    Ah, ahora entiendo a quién contestabas y veo lo que dices, pero no te estabas expresando muy bien, por eso (junto a las horas que son) no te había entendido.

  30. Isma dice:

    @xabio:
    Ahh!! tienes razón desde el punto de vista de un limite, ahora me queda claro,
    gracias a ti y a to2 los de+

  31. wilmer dice:

    Me encanta su blog, tiene muy interesantes secciones y muchos de las demostraciones ya las conocia otras ni idea

  32. rodrigo dice:

    @Fernando:
    Otra demostración:
    1.99999….=1+9*10^(-1)+9*10^(-2)+9*10^(-3)+…
    Ahora 9*10^(-1)+9*10^(-2)+9*10^(-3)+…=-9+9*10^(0)+9*10^(-1)+9*10^(-2)+…

    9*10^(0)+9*10^(-1)+9*10^(-2)+… es una serie gemetrica con razón r=1/10<1 por lo tanto converge y su suma es 9/(1-1/10)=10.

    En resumen 1.99999….=1-9+10=2.

  33. Mauricio dice:

    Que buena información, que buen posteo!!!
    Felicitaciones!

    Mauricio, Argentina.

  34. SAsuke dice:

    Excelentes demostraciones, mi hermano es físico puro del 10 ciclo, y ni el pudo encontrar los errores.
    Excelente aporte, tambien tengo un primo que es Matematico Puro y solo encontro el error en la primera demostracion.
    Y mi tio cientifico nuclear, no me hizo caso.

  35. frank dice:

    el 1 como elemento, “materia”,el o, como la nada.

  36. Lluis dice:

    Perdonad mi ignorancia si mi pregunta es una tontería, pero no entiendo donde van o porqué desaparecen el -36 i el -45 del segundo al tercer paso de la segunda demostración.

    16-36 = 25-45
    16-36+81/4 = 25-45+81/4
    (4-9/2)² = (5-9/2)²
    4-9/2 = 5-9/2
    4 = 5

  37. Lluis dice:

    @Adrian:
    Me podrías explicar cómo se pasa del segundo al tercer paso?
    Es que no entiendo este paso.
    Gracias!

  38. rodrigo dice:

    @Lluis:
    Hola Luis, bueno yo no hice eso, pero igual te respondo.
    Del segundo al tercer paso se ocupa el cuadrado de binomio o sea
    (x-y)² = x²-2xy+x², en el lado izquierdo x=4, y=9/2, en el lado derecho x=5, y=9/2.
    Si desarrolla la tercera linea de esa forma llegas a la segunda, bueno acá el autor ocupo ese recurso para pasar de la segunda a la tercera linea.

  39. […] Hay muchas pruebas de la identidad 1=0, por ejemplo las dadas en el blog Zurditorium en la entrada titulada Demostraciones de que 1=0 y similares.  […]

  40. syd dice:

    Amigos, creo que mal, no se puede generar demostraciones violando las reglas, si de cada ecuación que generas cometes errores puedes decir cualquier cosa, a mi me parece mal, deberían llamarse errores…

  41. xabio dice:

    @Lluis:
    Te lo explico yo, del tercero no se pasa al cuarto paso.

    Lo cierto es que la tercera igualdad implica que:

    4-9/2 = 5-9/2 ó que 4-9/2 = -5+9/2 (una de las dos)

    Y en este caso es la segunda.

    4-9/2 = -1/2 = 9/2 -5

    recuerda que X^2 = Y^2 no implica X=Y sino X=Y ó X=-Y

    ten en cuenta que si X=-Y se cumple tambien que (-Y)^2 = Y^2, no sólo con X=Y

  42. Carlos dice:

    @syd:
    En el artículo pone claramente:

    Evidentemente todas estas demostraciones son incorrectas

  43. Jose dice:

    Muy buena tu publicación! Pero tengo una pregunta. ¿Dónde podría encontrar estas demostraciones en un libro?

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