Curiosidades matemáticas sorprendentes

¡Buenas! Hoy os traigo una entrada en la que comento varios resultados matemáticos y curiosidades que en un principio van en contra de nuestra intuición o al menos sonar muy raras. Algunos de ellos son muy sencillos (por ejemplo el 5 y el 6), y vamos a resolverlos con cálculos sencillos. Pero empecemos con el que posiblemente sea el caso más sorprendente, aunque no vamos a profundizar en él, solo lo mencionaremos:

1.- La paradoja de Banach-Tarski

 

Imaginad que cogemos una bola maciza. Pero una bola matemática por lo que será totalmente maciza, no como las reales que tienen huecos entre los electrones y el núcleo de los átomos, o vete a saber cómo son de verdad. Vamos, que la bola va a ser el conjunto de puntos

$latex \{(x,y,z):x^2+y^2+z^2\leq 1\}.$

¿Podemos trocear esta bola y con esos trozos formar de nuevos dos bolas (matemáticas) totalmente macizas y del mismo radio? Intuitivamente uno diría que no, pero un matemático podría decir que sí, porque podríamos dividir la bola en infinitos puntos y juntarlos formando 2 bolas del mismo tamaño ya que una bola tiene el mismo número de puntos que 2 bolas (en este blog ya hemos hablado del tamaño de conjuntos infinitos, por ejemplo aquí o aquí).

Vale, vale, quizá sea esto un poco de trampa ya que dividimos la bola en infinitos puntos. Pero ¿sería posible hacer lo mismo si dividiésemos la bola en una cantidad finita de partes? Pues esto es lo sorprendente. La paradoja de Banach-Tarski (que en realidad no es una paradoja), dice que sí, exactamente en 8 trozos. Luego 5 de ellos los podremos unir para formar una bola, y con los otros 3, otra bola. Bueno, y repitiendo el proceso, podríamos hacer, 3, 4, 5, 45, 3245 o tantas bolas como quisiéramos.

Un par de consideraciones. Alguien podría decir que esto es imposible, porque cada trozo tendría un volumen que sumados darían el volumen de la bola inicial y no podrían sumar nunca el doble. El fallo en este razonamiento, es que esos trozos no van a tener un volumen definido, no todo tiene volumen, al menos, no cualquier conjunto de 3 dimensiones matemático. De hecho, cada uno de los conjuntos serían algo así como nubes densas de puntos.

Por cierto, hablando de conjuntos que no tienen volumen definido, que os puede parecer muy raro, ¿hay conjuntos contenidos en la recta real que no se puedan medir? Pues sí que los hay, y podéis ver un ejemplo de ello en una entrada del blog de Tito Eliatrón que ha escrito recientemente.

 

2.- El tamaño de los conjuntos. El hotel infinito de Hilbert.

 

¿Qué es más grande? ¿El conjunto de todos los números naturales (1, 2, 3, 4,…) o el de los números pares (2, 4, 6, 8,…)? Algunos dirán que los pares son la mitad. Pero claro, podemos asociar a cada número natural un número par cogiendo su doble, consiguiendo así comprobar que realmente hay la misma cantidad de unos y otros. Claro, ahora dirán algunos que hay los mismos porque son infinitos así que dos conjuntos infinitos tienen el mismo tamaño y por eso mismo también he dicho antes que una bola de radio 1 y dos bolas de radio 1 tienen también la misma cantidad de puntos. Pues bien, esto último tampoco es cierto, ¡existen conjuntos infinitos de distintos tamaños!

No me voy a enrollar con este tema porque como ya he dicho antes, ya se ha hablado de ello en este blog. Al que le interese, puede ver la entrada que escribí sobre el Hotel de Hilbert.

 

3.- La paradoja de Berry

 

Esto es más bien una curiosidad. Imaginad un idioma cualquiera, bueno, en concreto el castellano. El castellano tiene un número finito de palabras (aunque ciertamente muy grande). Así que habrá habrá una cantidad finita de grupos de 14 o menos palabras. ¿De acuerdo? Y algunos de estos grupos definirán números. Por ejemplo “cuarenta y dos” es un grupo de 3 palabras que representa al número 42, “nueve por tres” representa al número 27 y así. “Mi número de teléfono” no definiría un número porque depende de quién lo diga, vamos, que solo vamos a considerar números que estén inequívocamente definidos por 14 palabras o menos. Vamos a ver más ejemplos ¿Y el número 387420489? ¿Cuántas palabras necesitamos para definirlo? Pues se podría definir como “trescientos ochenta y siete millones cuatrocientos veinte mil cuatrocientos ochenta y nueve”, es decir, con 12 palabras. Pero de hecho lo podríamos haber hecho con tan solo 4: “nueve elevado a nueve”.

Vistos ya los ejemplos, volvamos a considerar todos los números que se pueden definir con 14 palabras o menos. Tendremos una cantidad finita (y muy grande) de números, por lo que se deduce que habrán números que no podamos definir con menos de 15 palabras. ¿Cuál será el número más pequeño que no se pueda definir con menos de 15 palabras? No sabemos cual es, pero tiene que haber uno, ¿no? Pero llegamos a un problema porque este número lo podemos definir con las siguientes palabras:

“El número más pequeño que no se puede definir con menos de quince palabras”.

¡Vaya! Lo acabo de definir con 14 palabras, cosas que por propia definición, no se puede hacer. ¿Entonces qué? No profundizo más, os dejo que os calentéis la cabeza con dicha paradoja.

 

4.- Probabilidades y fechas de cumpleaños.

 

Si queremos buscar fenómenos anti-intuitivos, en el campo de la probablidad tenemos un gran filón. Vámonos a unos ejemplos de los que ya he hablado por aquí: probabilidad y cumpleaños. Por ejemplo:

¿Cuál es la probabilidad que de 23 personas cogidas al azar, haya 2 que cumplan años el mismo día?

Al que no esté muy familiarizado con cálculos de probabilidades, quizá piense que una muy baja. Pero todo lo contrario, hay más posibilidades de que esto no pase a que esto no pase. Pero quizá sea más sorprendente lo siguiente:

Si tengo 1600 personas de contactos en facebook, ¿cuál es la probabilidad de que un día no cumpla ninguno de ellos años? Bueno, aquí la respuesta cambia mucho dependiendo de como interpretemos la pregunta:

  • Si prefijamos un día y queremos saber la probabilidad de que ese día nadie cumpla años, la probabilidad va a ser muy baja.
  • Sin embargo si nos preguntamos sobre cual es la probabilidad de que que haya algún día a lo largo del año en la que nadie cumple años, sorprendentemente tendremos que ¡¡es mayor que 99 sobre 100!! Algo realmente sorprendente.

Para más detalles sobre probabilidades y cumpleaños, visitad esta entrada.

 

5.- Un cinturón que rodea la tierra.

 

Imaginad que le ponemos a la tierra un cinturón en el ecuador (para simplificar, supondremos que la tierra es totalmente esférica). Pues bien, la longitud de este cinturón debería de tener una longitud de más de 40 millones de metros, vamos, que nos iba a salir un poco caro. Cortemos el cinturón por un punto cualquiera y y añadamos por allí un metro de cinturón más. Una vez hecho esto, con esta anchura extra, separemos el cinturón de la tierra la misma distancia por todos los puntos. Sin hacer ningún cálculo y respondiendo intuitivamente, ¿cuánta será la altura que se elevará el cinturón? ¿Podremos meter un folio por debajo? Uhm, no sé… ¿y la mano? Si no estuvieseis sospechando que hay una trampa, seguro que habríais dicho que no…

Pues la respuesta es que se podrá levantar casi ¡16 centímetros! ¿Cómo es eso? Bien, si L es la longitud inicial del cinturón en metros y R es el radio de la tierra en metros, y por lo tanto de la circunferencia que forma el cinturón, tendremos la siguiente relación:

$latex L=2\cdot\pi\cdot R.$

Ahora bien, si añadimos un metro al cinturón, el nuevo radio del cinturón será R+h, donde h es la altura a la que se elevará el cinturón uniformemente del suelo, teniendo la siguiente relación:

$latex L+1=2\cdot\pi\cdot (R+h).$

Restando ahora las dos expresiones anteriores tendremos que

$latex 1=2\cdot \pi \cdot h.$

Despejando ahora $latex h$,

$latex h=\frac{1}{2 \pi},$

que aproximadamente son 16 centímetros. ¿Sorprendente? El problema es que uno piensa que debe de ser mucho menos porque 1 metro es despreciable al lado de más de 40 millones de metro de cinturón. Pero claro, lo mismo pasa con 16 centímetros al compararlos con el radio de la Tierra, de hecho ambas cantidades serán despreciables en la misma proporción.

 

6.- La sandía al sol.

 

Imaginad que tenemos una sandía que pesa unos 10 kilos y que está formada en un 99% por agua. Posiblemente sea un porcentaje demasiado alto, pero bueno, pensad que un recién nacido tiene un 75% de agua y la sandía parece que tenga más. En cualquier caso son datos ficticios. Venga, vayamos al grano. Pongámosle un peso a la sandía, por ejemplo 10Kg e imaginemos que dejamos la sandía al sol y además partida, por lo que pierde agua con lo que al día siguiente, la cantidad de agua que tiene la sandía es un 98% de masa total. Así a ojo, sin echar ningún cálculo, ¿cuánto creéis que pesará la sandía?

Pues bien, si el 99% era agua y ahora el 98% es agua y solo ha perdido agua, nuestra primera impresión es que habrá perdido poco peso, que de 10 kilos, seguro que pesa más de 9 kilos, de hecho casi 10, ¿no? Pues os podéis imaginar, ¡no! Pierde mucho más, de hecho se quedará en tan solo ¡¡5 kilos!! Podéis echar los cálculos y comprobarlo. Para que no sea tan intuitivo podemos plantearlo de otra forma:

Si de 10 kilos, un 1% es materia solida y tras perder líquido, la parte sólida es ahora del 2%, ¿cuánto será la masa tras perder líquido?

Lo veis ahora más intuitivo, ¿no? Pensad que la proporción de materia sólida es ahora el doble que antes, sin que esta materia haya aumentado. Un 1% de 10 kilos son tan solo 100 gramos. ¿De qué cantidad 100 gramos será el 2%? Pues si la cantidad (mediad en kilos) es X, tendremos la siguiente igualdad:

$latex 0,1=X\cdot 0,02$

y por lo tanto

$latex X=\frac{0,1}{0,02}=5\text{ kilos}.$

 

7.- Y terminamos con un chiste

 

Hace poco leí un chiste (no encuentro la fuente):

“Cada vez que un usuario de tuenti decide abandonarlo y pasarse a twitter, el cociente intelectual medio de ambas redes sociales disminuye”.

¿Lo pilláis? En fin, lo que ilustro con este chiste, es que en ocasiones, si tenemos dos conjuntos de números, al pasar un elemento de un conjunto a otro, la media de cada conjunto puede disminuir simultáneamente (y también puede pasar lo contrario). Os pongo ahora un ejemplo sencillo, considerad los conjuntos

$latex \{1,3\}\quad\text{ y }\quad\{10,20\}.$

¿Qué pasa si pasamos el 3 del primer conjunto al segundo? Pues que la media del primero pasa de 2 a 1 y la media del segundo pasa de 15 a 11. ¡Ambas medias han disminuido! Podía parecer raro este hecho, pero como veis, es bastante normal.

Esto último es conocido como el Fenómeno de Will Rogers, fenómeno que recibe dicho nombre precisamente de un chiste de Will Rogers similar al que he comentado.

Edito: visto algunos comentarios, aclaro una cosa. El chiste no indica que el más listo de tuenti sea más tonto que cualquiera de twitter ni que al pasar cualquier elemento de un conjunto al otro, las medias de ambos disminuyan (por ejemplo si se pasa el 1 no pasaría). El fenómeno dice que hay algunos elementos con los que pasa, y además el chiste, aparte de indicar que de media en twitter serían más inteligentes, también indica que el de tuenti que se pasa a twitter, lo hace porque en cierto sentido ha madurado y por tanto su cociente intelectual es mayor que la media en tuenti, pero aún así inferior a la media en twitter. En fin, es un chiste, no una verdad. Sin ir más lejos, ¡yo tengo cuenta en ambos sitios!

En fin, podría seguir dando más y más ejemplos, pero se haría esto eterno así que lo dejo aquí.

Con esta entrada participo en la la Edición 2.6 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog La Vaca Esférica.

24 Responses to “Curiosidades matemáticas sorprendentes”

  1. Curiosidades matemáticas sorprendentes…

    Hoy os traigo una entrada en la que comento varios resultados matemáticos y curiosidades que en un principio van en contra de nuestra intuición o al menos sonar muy raras. Algunos de ellos son muy sencillos (por ejemplo el 5 y el 6), y vamos……

  2. Pepe dice:

    (7) Y si lo que se pasa el 1 del primer conjunto al segundo, la media del primero aumenta, de 2 a 3.

    Poco cocinado, muchacho. Ése y otros.

  3. Fran dice:

    Me has dejado de piedra, nunca hubiera caido en esas cosas.

  4. Carlos dice:

    #2, en ningún momento he dicho que pasando cualquiera de los elementos ambas medias disminuyan.

    Y si lo dices por el chiste, ahí no te has dado cuenta de un pequeño detalle, con el chiste lo que se quiere decir también es que si un usuario de tuenti se pasa a twitter, por este simple hecho, debe de ser alguien con cociente intelectual mayor a la media en tuenti (ya que si no, se quedaría en tuenti), por lo que la media en tuenti disminuye al irse. Por otro lado, aunque su cociente intelectual sea mayor que la media de tuenti, es menor que la media de twitter (ya que si no, no habría estado en tuenti) por lo que a ingresar en twitter, disminuye la media ahí.

    Ante todo debo especificar que es un chiste, desde luego que no es cierto. Sin ir más lejos tengo cuentas en ambos sitios.

  5. PAblo Izquierdo Lobato dice:

    Me ha gustado el 6 y el 7!!! (que son los unicos que he leido XD)

    Además, el fenomeno del chiste 7 ocurre cuando el numero que se pasa del conjunto con menor media al de mayor media está comprendido entre la media del primero y la del segundo. En este ejemplo sería cuando el numero que se pasa, el 3, está entre la media del primero, 2, y la del segundo, 15. XD

    Pepe, el autor ha dicho que eso ocurre a veces, cuando se da la condicion que digo. Lo que sucede es que el usuario de tuenti con coeficiente 1 es tan tonto que no se cambia de tuenti a twitter XD XD XD

  6. Ramón dice:

    Buenos días, me podrías explicar de donde sacas la ecuación de la sandia?….

  7. Carlos dice:

    @Ramón:
    Es una regla de 3. La parte solida son 100 gramos (osea, 0.1Kg) ya que es el 1% de 10 kilos (10kilos/100). Tras evaporarse parte del agua, la parte solida es el 2%. Llamemos al peso de la sandía X:

    El 100% de la masa de la sandía es X.
    El 2% de la masa de la sandía es 0.1 (la parte solida).

    Por tanto
    $latex X=\frac{100\cdot 0.1}{2}=5.$

    En la entrada, la ecuación la había escrito de otra forma, pero vamos, que es realmente la misma.

  8. fail dice:

    Que post tan currado, buenisimo. Hay cosas muy interesantes :)

  9. Curiosidades matemáticas sorprendentes…

    Hoy os traigo una entrada en la que comento varios resultados matemáticos y curiosidades que en un principio van en contra de nuestra intuición o al menos sonar muy raras. Algunos de ellos son muy sencillos (por ejemplo el 5 y el 6), y vamos……

  10. monik dice:

    @www.divulgame.net:
    Hola!
    Me interesa La paradoja de Banach-Tarski, tienes más datos que puedas enviar o pones en el blog? Es Topología o Análisis?

  11. Carlos dice:

    @monik:
    Lo cierto es que no conozco demasiado del tema, pero mira, precisamente con esto del carnaval, en otro blog se ha hablado de la paradoja:

    http://www.migui.com/ciencias/matematicas/como-convertir-una-esfera-en-otras-dos-esferas-iguales.html

    No es que cuente demasiado, pero al final pone un link que supongo que te irá bien.

  12. Bueno ojala todos los profesores explicaran las matematicas como tu… La vedad es que muchos de los que nos gustan las matematicas nos gustan las buenas explicaciones :)

  13. algapito dice:

    El problema 5 está mal desde cualquier punto de vista.
    De hecho resulta que, si dicho cinturón se lo pusiésemos a una esfera de un metro de diámetro, en vez de a la tierra ¡también se podría levantar los mismos 16 cm! (según el razonamiento expuesto).

  14. Carlos dice:

    @algapito:
    Algapito, no has entendido nada. Si le pones el mismo cinturón a una esfera de 1 metro de diámetro, sobrará mucho. Lo que se deduce del razonamiento es que si a una esfera cualquiera (ya sea la Tierra o la que dices) le pones un cinturón ajustado y luego amplías la longitud de dicho cinturón un metro, entonces se levantará casi 16 centímetros.

  15. Rubén dice:

    Lo que expones en 6 es incorrecto porque asumes que por ser un 1% de la materia pesara un 1% del peso total, cosa que es totalmente incorrecta pues cada materia tiene su propio peso y no va en relación al % de presencia en un objeto. Por ejemplo una bola echa de agua en su interior y de plomo su exterior siendo el % de presencia del plomo menor al del agua pero mayor en peso. Tu exposición es ambigua o incorrecta revisarla. Es más es pura lógica que eso no tenga ningún sentido.

  16. Carlos dice:

    @Rubén:
    Lamento decirte que estás confundiendo conceptos. Cuando se habla de cantidad de materia, se habla de masa, no de volumen. si no, me estarías diciendo que al calentar un metal y expandirse este, ganaría materia o que al enfriarse la pierde. Y creo que está claro que en todo momento conserva la misma.

    Por ejemplo cuando se dice que estamos formados por un 75% de agua, también se refiera a masa.

  17. Carlos dice:

    @Gabriel – diseño de paginas web:
    lo cierto es que quizá tus profesores de matemáticas sean capaces de explicarlas tan bien o mejor que yo. La cuestión es que hacerlo en un blog es “más fácil” ya que puedo expresar las cosas como a mi me gusta por la sencilla razón de que al que no le guste como lo expreso, pues simplemente no leerá mi blog, y al que le guste, pues le gustará.

    A la hora de dar clases, la cosa se complica, porque muchos alumnos no tienen interés y si les explicas algo que no va a caer en el examen, ni te hacen caso.

  18. Rubén dice:

    Emmm tu mismo te pierdes en tu explicación, quien habla de volumen??? 1 litro de agua ocupa lo mismo que un litro de plomo y sus pesos son diferentes dado su densidad. Entonces tu expones que una sandia la cual su peso es de 10 kilos es debido al 99% del peso del agua que la conforma es decir un 9900 gr y un 1% de masa solida 100 gr y que si pierde un 1% de ese agua osea 100 gr pesa la mitad, es mas es inexacto porque la regla de 3 comparas % distintos el 1% de 10kg con el 2% de 10kg otra vez lo cual es imposible porque perdió agua con lo que pierde peso, en esa parte te equivocas ya que el peso de la parte solida permanece invariable pero el del agua no y así subsecuentemente el del total con lo cual la parte solida nunca puede llegar a doblarse pasa a ser un % mayor (una minucia) pero no se de donde sacas que se dobla

  19. Carlos dice:

    @Rubén:
    Vale, ahora te entiendo.

    En ningún momento he dicho que pierda un 1% de agua. Digo que primero tiene un 99% de agua y que luego tiene un 98% de agua. Eso no significa que haya perdido un 1% de agua. Para que lo veas:

    Si pierde un 1% de agua, como había 9900 gramos, perderá 99 gramos de agua por lo que la sandía pesaría 9901gramos (10000-99) y de esos 9901gramos, 9801 serían de agua. ¿Qué porcentaje habría de agua entonces? Pues 9801×100/9901, es decir, un 98.990001%.

    Espero que te haya quedado claro.

    Y te resuelvo el problema de otra forma. 10Kilos, x la cantidad de agua que pierde medida en kilos, por lo tanto la sandía pesará 10-x kilos y habrá 9.9-x kilos de agua. Si 10-x es el 100% y 9.9-x es el 98%, la regla de 3 nos dice que:
    $latex (10-x)\cdot 98=(9.9-x)\cdot 100$. Despeja de ahí la x y comprueba lo que te da.

  20. Rubén dice:

    Entonces ya lo entiendo, pero no es lo que pretendes mostrar ya que el truco esta en comparar % de densidades, es decir comparas que en 10kg su peso es debido a un 99% del agua y luego dices que en un XKg su peso es debido al 98% del agua que la compone, si la masa solida no varia, varia el agua en volumen para que cuadre el que su peso se deba al agua existente debido a que ahí si implicas que el volumen varié pues menos agua mas % pertenece a la parte solida.

    Total un engaña tontos que saca % cercanos para confundir

  21. Yhlonx dice:

    Me da que el tal Rubén sigue sin enterarse… El acertijo mola, Carlos, gracias.

  22. Carlos dice:

    @Yhlonx:
    A mi también, pero a veces hay que dejar de insistir 😀

  23. Tipejote dice:

    Muy bueno no sólo el post, sino el blog en general.
    Debes de tener los nervios de acero para aguantar las correcciones que te hacen, a mí me herviría la sangre xD

  24. josé miguel de los reyes luque dice:

    Mi firma es un número 142 el uno es la j el cuatro junto con el uno es la m y el dos junto con el cuatro es la r. JMR . luego inventé el único número que es capaz de multiplicarse por dos rotando sus pares. 142857 x 2 = 285714 y 285714 x 2 = 571428

    142857
    285714
    571428

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