¡Buenas! Hoy os traigo una entrada en la que comento varios resultados matemáticos y curiosidades que en un principio van en contra de nuestra intuición o al menos sonar muy raras. Algunos de ellos son muy sencillos (por ejemplo el 5 y el 6), y vamos a resolverlos con cálculos sencillos. Pero empecemos con el que posiblemente sea el caso más sorprendente, aunque no vamos a profundizar en él, solo lo mencionaremos:

1.- La paradoja de Banach-Tarski

 

Imaginad que cogemos una bola maciza. Pero una bola matemática por lo que será totalmente maciza, no como las reales que tienen huecos entre los electrones y el núcleo de los átomos, o vete a saber cómo son de verdad. Vamos, que la bola va a ser el conjunto de puntos

\{(x,y,z):x^2+y^2+z^2\leq 1\}.

¿Podemos trocear esta bola y con esos trozos formar de nuevos dos bolas (matemáticas) totalmente macizas y del mismo radio? Intuitivamente uno diría que no, pero un matemático podría decir que sí, porque podríamos dividir la bola en infinitos puntos y juntarlos formando 2 bolas del mismo tamaño ya que una bola tiene el mismo número de puntos que 2 bolas (en este blog ya hemos hablado del tamaño de conjuntos infinitos, por ejemplo aquí o aquí).

Vale, vale, quizá sea esto un poco de trampa ya que dividimos la bola en infinitos puntos. Pero ¿sería posible hacer lo mismo si dividiésemos la bola en una cantidad finita de partes? Pues esto es lo sorprendente. La paradoja de Banach-Tarski (que en realidad no es una paradoja), dice que sí, exactamente en 8 trozos. Luego 5 de ellos los podremos unir para formar una bola, y con los otros 3, otra bola. Bueno, y repitiendo el proceso, podríamos hacer, 3, 4, 5, 45, 3245 o tantas bolas como quisiéramos.

Un par de consideraciones. Alguien podría decir que esto es imposible, porque cada trozo tendría un volumen que sumados darían el volumen de la bola inicial y no podrían sumar nunca el doble. El fallo en este razonamiento, es que esos trozos no van a tener un volumen definido, no todo tiene volumen, al menos, no cualquier conjunto de 3 dimensiones matemático. De hecho, cada uno de los conjuntos serían algo así como nubes densas de puntos.

Por cierto, hablando de conjuntos que no tienen volumen definido, que os puede parecer muy raro, ¿hay conjuntos contenidos en la recta real que no se puedan medir? Pues sí que los hay, y podéis ver un ejemplo de ello en una entrada del blog de Tito Eliatrón que ha escrito recientemente.

 

2.- El tamaño de los conjuntos. El hotel infinito de Hilbert.

 

¿Qué es más grande? ¿El conjunto de todos los números naturales (1, 2, 3, 4,...) o el de los números pares (2, 4, 6, 8,...)? Algunos dirán que los pares son la mitad. Pero claro, podemos asociar a cada número natural un número par cogiendo su doble, consiguiendo así comprobar que realmente hay la misma cantidad de unos y otros. Claro, ahora dirán algunos que hay los mismos porque son infinitos así que dos conjuntos infinitos tienen el mismo tamaño y por eso mismo también he dicho antes que una bola de radio 1 y dos bolas de radio 1 tienen también la misma cantidad de puntos. Pues bien, esto último tampoco es cierto, ¡existen conjuntos infinitos de distintos tamaños!

No me voy a enrollar con este tema porque como ya he dicho antes, ya se ha hablado de ello en este blog. Al que le interese, puede ver la entrada que escribí sobre el Hotel de Hilbert.

 

3.- La paradoja de Berry

 

Esto es más bien una curiosidad. Imaginad un idioma cualquiera, bueno, en concreto el castellano. El castellano tiene un número finito de palabras (aunque ciertamente muy grande). Así que habrá habrá una cantidad finita de grupos de 14 o menos palabras. ¿De acuerdo? Y algunos de estos grupos definirán números. Por ejemplo "cuarenta y dos" es un grupo de 3 palabras que representa al número 42, "nueve por tres" representa al número 27 y así. "Mi número de teléfono" no definiría un número porque depende de quién lo diga, vamos, que solo vamos a considerar números que estén inequívocamente definidos por 14 palabras o menos. Vamos a ver más ejemplos ¿Y el número 387420489? ¿Cuántas palabras necesitamos para definirlo? Pues se podría definir como "trescientos ochenta y siete millones cuatrocientos veinte mil cuatrocientos ochenta y nueve", es decir, con 12 palabras. Pero de hecho lo podríamos haber hecho con tan solo 4: "nueve elevado a nueve".

Vistos ya los ejemplos, volvamos a considerar todos los números que se pueden definir con 14 palabras o menos. Tendremos una cantidad finita (y muy grande) de números, por lo que se deduce que habrán números que no podamos definir con menos de 15 palabras. ¿Cuál será el número más pequeño que no se pueda definir con menos de 15 palabras? No sabemos cual es, pero tiene que haber uno, ¿no? Pero llegamos a un problema porque este número lo podemos definir con las siguientes palabras:

"El número más pequeño que no se puede definir con menos de quince palabras".

¡Vaya! Lo acabo de definir con 14 palabras, cosas que por propia definición, no se puede hacer. ¿Entonces qué? No profundizo más, os dejo que os calentéis la cabeza con dicha paradoja.

 

4.- Probabilidades y fechas de cumpleaños.

 

Si queremos buscar fenómenos anti-intuitivos, en el campo de la probablidad tenemos un gran filón. Vámonos a unos ejemplos de los que ya he hablado por aquí: probabilidad y cumpleaños. Por ejemplo:

¿Cuál es la probabilidad que de 23 personas cogidas al azar, haya 2 que cumplan años el mismo día?

Al que no esté muy familiarizado con cálculos de probabilidades, quizá piense que una muy baja. Pero todo lo contrario, hay más posibilidades de que esto no pase a que esto no pase. Pero quizá sea más sorprendente lo siguiente:

Si tengo 1600 personas de contactos en facebook, ¿cuál es la probabilidad de que un día no cumpla ninguno de ellos años? Bueno, aquí la respuesta cambia mucho dependiendo de como interpretemos la pregunta:

  • Si prefijamos un día y queremos saber la probabilidad de que ese día nadie cumpla años, la probabilidad va a ser muy baja.
  • Sin embargo si nos preguntamos sobre cual es la probabilidad de que que haya algún día a lo largo del año en la que nadie cumple años, sorprendentemente tendremos que ¡¡es mayor que 99 sobre 100!! Algo realmente sorprendente.

Para más detalles sobre probabilidades y cumpleaños, visitad esta entrada.

 

5.- Un cinturón que rodea la tierra.

 

Imaginad que le ponemos a la tierra un cinturón en el ecuador (para simplificar, supondremos que la tierra es totalmente esférica). Pues bien, la longitud de este cinturón debería de tener una longitud de más de 40 millones de metros, vamos, que nos iba a salir un poco caro. Cortemos el cinturón por un punto cualquiera y y añadamos por allí un metro de cinturón más. Una vez hecho esto, con esta anchura extra, separemos el cinturón de la tierra la misma distancia por todos los puntos. Sin hacer ningún cálculo y respondiendo intuitivamente, ¿cuánta será la altura que se elevará el cinturón? ¿Podremos meter un folio por debajo? Uhm, no sé... ¿y la mano? Si no estuvieseis sospechando que hay una trampa, seguro que habríais dicho que no...

Pues la respuesta es que se podrá levantar casi ¡16 centímetros! ¿Cómo es eso? Bien, si L es la longitud inicial del cinturón en metros y R es el radio de la tierra en metros, y por lo tanto de la circunferencia que forma el cinturón, tendremos la siguiente relación:

L=2\cdot\pi\cdot R.

Ahora bien, si añadimos un metro al cinturón, el nuevo radio del cinturón será R+h, donde h es la altura a la que se elevará el cinturón uniformemente del suelo, teniendo la siguiente relación:

L+1=2\cdot\pi\cdot (R+h).

Restando ahora las dos expresiones anteriores tendremos que

1=2\cdot \pi \cdot h.

Despejando ahora h,

h=\frac{1}{2 \pi},

que aproximadamente son 16 centímetros. ¿Sorprendente? El problema es que uno piensa que debe de ser mucho menos porque 1 metro es despreciable al lado de más de 40 millones de metro de cinturón. Pero claro, lo mismo pasa con 16 centímetros al compararlos con el radio de la Tierra, de hecho ambas cantidades serán despreciables en la misma proporción.

 

6.- La sandía al sol.

 

Imaginad que tenemos una sandía que pesa unos 10 kilos y que está formada en un 99% por agua. Posiblemente sea un porcentaje demasiado alto, pero bueno, pensad que un recién nacido tiene un 75% de agua y la sandía parece que tenga más. En cualquier caso son datos ficticios. Venga, vayamos al grano. Pongámosle un peso a la sandía, por ejemplo 10Kg e imaginemos que dejamos la sandía al sol y además partida, por lo que pierde agua con lo que al día siguiente, la cantidad de agua que tiene la sandía es un 98% de masa total. Así a ojo, sin echar ningún cálculo, ¿cuánto creéis que pesará la sandía?

Pues bien, si el 99% era agua y ahora el 98% es agua y solo ha perdido agua, nuestra primera impresión es que habrá perdido poco peso, que de 10 kilos, seguro que pesa más de 9 kilos, de hecho casi 10, ¿no? Pues os podéis imaginar, ¡no! Pierde mucho más, de hecho se quedará en tan solo ¡¡5 kilos!! Podéis echar los cálculos y comprobarlo. Para que no sea tan intuitivo podemos plantearlo de otra forma:

Si de 10 kilos, un 1% es materia solida y tras perder líquido, la parte sólida es ahora del 2%, ¿cuánto será la masa tras perder líquido?

Lo veis ahora más intuitivo, ¿no? Pensad que la proporción de materia sólida es ahora el doble que antes, sin que esta materia haya aumentado. Un 1% de 10 kilos son tan solo 100 gramos. ¿De qué cantidad 100 gramos será el 2%? Pues si la cantidad (mediad en kilos) es X, tendremos la siguiente igualdad:

0,1=X\cdot 0,02

y por lo tanto

X=\frac{0,1}{0,02}=5\text{ kilos}.

 

7.- Y terminamos con un chiste

 

Hace poco leí un chiste (no encuentro la fuente):

"Cada vez que un usuario de tuenti decide abandonarlo y pasarse a twitter, el cociente intelectual medio de ambas redes sociales disminuye".

¿Lo pilláis? En fin, lo que ilustro con este chiste, es que en ocasiones, si tenemos dos conjuntos de números, al pasar un elemento de un conjunto a otro, la media de cada conjunto puede disminuir simultáneamente (y también puede pasar lo contrario). Os pongo ahora un ejemplo sencillo, considerad los conjuntos

\{1,3\}\quad\text{ y }\quad\{10,20\}.

¿Qué pasa si pasamos el 3 del primer conjunto al segundo? Pues que la media del primero pasa de 2 a 1 y la media del segundo pasa de 15 a 11. ¡Ambas medias han disminuido! Podía parecer raro este hecho, pero como veis, es bastante normal.

Esto último es conocido como el Fenómeno de Will Rogers, fenómeno que recibe dicho nombre precisamente de un chiste de Will Rogers similar al que he comentado.

Edito: visto algunos comentarios, aclaro una cosa. El chiste no indica que el más listo de tuenti sea más tonto que cualquiera de twitter ni que al pasar cualquier elemento de un conjunto al otro, las medias de ambos disminuyan (por ejemplo si se pasa el 1 no pasaría). El fenómeno dice que hay algunos elementos con los que pasa, y además el chiste, aparte de indicar que de media en twitter serían más inteligentes, también indica que el de tuenti que se pasa a twitter, lo hace porque en cierto sentido ha madurado y por tanto su cociente intelectual es mayor que la media en tuenti, pero aún así inferior a la media en twitter. En fin, es un chiste, no una verdad. Sin ir más lejos, ¡yo tengo cuenta en ambos sitios!

En fin, podría seguir dando más y más ejemplos, pero se haría esto eterno así que lo dejo aquí.

Con esta entrada participo en la la Edición 2.6 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog La Vaca Esférica.

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