En este blog ya he hablado más de una vez de que hay que tener mucho cuidado al simplificar expresiones. Hay quien al simplificar puede llegar a cometer auténticas burradas, pero en otras ocasiones, simplificaciones aparentemente normales pueden llevarnos a resultados tipo 1=0. Pues bien, en los primeros días de clase tengo la costumbre de poner ejemplos sencillos en los que el alumno pueda cometer algún error, más que nada para que se den cuenta de estas cosillas. Este cuatrimestre se me ha ocurrido ponerles una sencilla ecuación de la que les pido que rápidamente me den la solución:

x(x+1)=3(x+1).

Venga, rápidamente, ¿cuál es la solución? Pues la mayoría de los alumnos (más del 90%) dicen que la solución es

x=3

ya que simplifican y es lo que les queda. Pero, ¿qué pasa si en vez de simplificar desarrollamos y resolvemos? Pues al desarrollar nos queda

x^2+x= 3x+3.

Pasándolo todo al lado izquierdo nos quedaría como

x^2-2x-3=0.

Y esta ecuación sabemos resolverla todos, podríamos hasta resolverla sin fórmula. Bien, la solución que nos da es

\displaystyle x=\frac{2\pm\sqrt{4+12}}{2}=\frac{2\pm 4}{2}=\left\{\begin{array}{c}-1\\3\\\end{array}\right.

Pues sí, efectivamente x=3 es una solución, pero nos faltaría x=-1. ¿Dónde está el fallo entonces? Pues a la hora de simplificar que hemos tachado el x+1. ¿Por qué? Pues porque cuando simplifiquemos tenemos que asegurarnos de que lo simplificado es no nulo. Así que el procedimiento correcto para poder simplificar sería el siguiente:

  • Si x+1=0 entonces se cumple la ecuación (es decir, queda 0=0) y en tal caso se tiene claramente que x=-1 (ya que x+1=0).
  • Si x+1\neq 0 entonces podemos simplificar y la ecuación se queda como x=3.

Y así podríamos haber obtenido las 2 soluciones de primeras sin hacer más cálculos.

Con esta entrada participo en la Edición 3.1 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Scientia potentia est.

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