Hoy voy con mi segunda entrada en la categoría de copiones, y en ella os voy a relatar algo que he visto como profesor. Como en esta categoría pienso incluir aportaciones que me hagáis (no dudéis en hacerlas en un comentario o con el formulario de contacto), en próximas entradas no revelaré quién es la fuente (incluso cuando sean casos vividos por mi).

Antes de mostraros el disparate que me encontré en un examen, os voy a recordar rápidamente en qué consistía integrar una función entre 2 puntos. Si queremos integrar una función f en el intervalo [a,b] lo único que había que hacer era encontrar una primitiva de la función, es decir, encontrar una función g cuya derivada sea f, y luego calcular g(b)-g(a). Os pongo un ejemplo de como se escribe esto. Si f(x)= cos(x), una primitiva podría ser sen(x) así que

\int_0^{\pi/2} cos(x)=\left[ sen(x)\right]_{x=0}^{x=\pi/2}=sen(\pi/2)-sen(0)=1.

Si esto que acabo de poner lo tenéis claro, será suficiente para que veáis donde está el fallo en lo que os voy a poner ahora, aunque quizá los primeros pasos no los tengáis claros. Pues bien, lo que se le pedía al siguiente alumno era resolver cierta integral doble:

 

\int_{-1}^1\left(\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}\sqrt{1-x^2-y^2}dy\right)dx.

Para los que no hayáis estudiado una carrera de ciencias, esto ya os puede asustar, ¿no? Bueno, no os asustéis tanto, en un principio esto consiste en hacer la integral de dentro (pero respecto la variable y), sustituir los valores dados y hacer la integral respecto de x. El problema es que si intentamos hacerlo así, me da que no vamos a saber resolver dichas integrales. Sin embargo, los que han estudiado análisis en varias variables deberían de saber que esta integral se puede ver como una integral sobre un círculo centrado en el origen con lo que un simple cambio a polares, la integral queda mucho más sencilla. Y si no habéis estudiado esto, da igual, simplemente confiad en mi. Pues bien, estaba yo corrigiendo un examen y efectivamente veo que el alumno hace eso, quedándole la siguiente integral doble

\int_0^1\left(\int_0^{2\pi}\rho\sqrt{1-\rho^2}d\theta\right)d\rho.

Hasta aquí va bien. Ahora le toca hacer la integral de dentro. Como las variables que aparecen son raras, no son la x ni la y, puede ser que alguno lo vea muy complicado, pero para nada. En la integral de dentro se integra respecto a \theta, pero como \theta no aparece en la función a integrar, es como si se integrase una constante, por lo que la primitiva consiste en multiplicar por \theta. Y así hizo el alumno:

\int_0^{2\pi}\rho\sqrt{1-\rho^2}d\theta=\left[\theta\rho\sqrt{1-\rho^2}\right]_{\theta=0}^{\theta=2\pi}=2\pi\rho\sqrt{1-\rho^2}.

Hasta aquí iba la cosa bien, al alumno ya solo le quedaba una integral en una variable, a ver cómo la continuó...

\int_{0}^1 2\pi\rho\sqrt{1-\rho^2}d\rho=\left[-\frac 2 3\pi(1-\rho^2)^{3/2}\right]_{\rho=0}^{\rho=1}=\cdots

Bien, hizo la segunda parte de la integral bien, calculó bien esta primitiva (para el que no le quede claro, pues que derive y compruebe que da lo que tiene que dar). Si os habéis perdido no pasa nada, que ahora viene lo bueno. Ya solo le queda sustituir los valores 1 y -1, restar y ejercicio terminado. Pero cual fue mi sorpresa cuando, pensando que el alumno iba a tener el ejercicio perfecto, miro el siguiente paso y veo...

\left[-\frac 2 3\pi(1-\rho^2)^{3/2}\right]_{\rho=0}^{\rho=1}=\int_0^{\sqrt{2}/2}\left(\int_0^{2\pi}\left(\int_\rho^{\sqrt{1-\rho^2}}\rho dz\right)d\theta\right)d\rho=\dots

¡¡¿Qué?!! Pues sí, cuando ya solo tiene que sustituir un par de números y restar, me encuentro con que eso tan sencillo que le quedaba ¡se convierte en una integral triple! Y no solo eso, esta integral triple salía al resolver otro ejercicio del examen, ejercicio que este alumno tenía completamente mal, ni siquiera había planteado bien la integral que tenía que resolver.

¿Qué es lo que pasó? Pues como podréis suponer por lo que he puesto al principio de la entrada, se copió de un compañero, y cuando estaba a punto de terminar el ejercicio, se ve que perdió de vista la hoja y siguió copiándose de otro lado. No sé qué es más grave, el hecho de que se copiara en sí o que no fuese capaz de terminar el ejercicio cuando solo le quedaba sustituir y restar... Es que por poca idea que tuviese, ¡se tendría que haber dado cuenta! ¿No creéis?

Y esto me paso con uno de los primeros exámenes que tuve que corregir como profesor. Por cierto, cuando se lo dije no me negó que se había copiado. En fin, ya es agua pasada. Si tenéis alguna anécdota interesante, no dudéis en comentarla por aquí o mandármelo con el formulario de contacto (pinchando donde pone contacto, en la parte superior de la página).

Esta entrada es mi primera aportación a la edición Edición 2.5 del Carnaval de Matemáticas siendo el anfitrión en esta ocación el blog Juegos Topológicos.

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