Hace algo más de un mes escribí una entrada explicando por qué funcionaba el algoritmo para resolver raíces cuadradas tal como nos enseñaron en el colegio. Para mi sorpresa tuvo bastante éxito, llegando a portada en meneame y siendo co-ganadora del IV Premio Carnaval de Matemáticas. Y bien, resulta que en dicha entrada dije que me planteé el funcionamiento de dicho algoritmo al tratar de deducir cual sería el algoritmo para la cúbica, pero como no expliqué nada de la cúbica, recibí algunas peticiones sobre cómo sería el algoritmo. Así que a esto voy a dedicar esta entrada, a explicar cómo creo que se haría y a comentar algunas alternativas.

Método de la raíz cúbica similar al método de la raíz cuadrada.

 

Empecemos con el método que posiblemente se enseñase en el colegio hace ya unos cuantos años. No puedo asegurarlo que fuera este, pero es el que creo que se usaría al ser similar al de la raíz cuadrada. Si habéis leído la entrada en la que hablo de la raíz cuadrada, no deberíais tener mayor problema para deducirlo vosotros mismos, así que no me voy a entretener mucho. Pongo primero una ya desarrollada para ir viendo luego cada paso:

Recordemos que para la raíz cuadrada, el secreto por el que funcionaba el algoritmo el desarrollo del cuadrado de una suma:

\[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,\]

y en esta ocasión, como es de esperar, usaremos el desarrollo del cubo de una suma:

\[(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3.\]

Y sí, como os podéis imaginar, aquí la cosa se va a complicar.  Empecemos con el método. Cogeré de ejemplo el mismo número que cogí la otra vez, el 34792.

Paso 1.- Separar las cifras de tres en tres de derecha a izquierda.

Así en nuestro caso caso la separación sería 34-792. Continuamos.

Paso 2.- Buscar un número de una cifra que se aproxime por debajo lo máximo posible a la cifra o cifras de la izquierda.

Al trabajar con cubos, dar este paso puede ser complicado, pero no es para tanto ya que es fácil saberse de memoria los primeros 9 cubos, de hecho lo normal es que podáis calcular de cabeza la mayoría. En nuestro caso tras separar a la izquierda nos ha quedado un 34 así que para empezar cogeríamos el 3 ya que 3^3=27 y 4^3=64. Expliquemos lo que hemos hecho realmente hasta ahora.

Pues bien, lo que estamos haciendo aquí es buscar un número de la forma X0 que al elevarlo al cubo se quede por debajo (o sea igual) al número al que estamos haciendo la raíz. Observad que

\[X0^3=(X\cdot 10)^3=X^3\cdot 1000.\]

Así que realmente de momento estamos buscando la mejor aproximación de 34000 (y de aquí uno puede ver ya por qué separamos las cifras de 3 en 3 y de derecha a izquierda).

Paso 3.- Restar a las cifras de la izquierda el cuadrado obtenido y bajar las tres siguientes cifras.

En nuestro caso, 34-27=7 que tras bajar el 792 se nos quedaría como 7792. Ahora tenemos que ver qué tenemos que añadirle a 30 para que su cubo crezca lo máximo posible, sin que el crecimiento sea mayor a 7792. Pues si esta parte era extraña en la raíz cuadrada, ahora no os digo nada.

Paso 4.-  Si X es lo que llevamos de raíz hasta el momento, encontrar una cifra Y tal que 300\cdot X^2+30\cdot X\cdot Y^2+Y^3  se aproxime lo máximo posible al número obtenido en el paso anterior.

Al igual que en la raíz cuadrada lo que se hacía era buscar 20\cdot X\cdot Y+Y^2 y eso se transformaba en tratar de rellenar el hueco Z\_\times \_ siendo Z el doble de $X$, ¿cómo se podría escribir para la raíz cúbica esto de forma más sencilla. Pues la verdad es que lo he pensado mucho y no se me ocurre nada que quede sencillo. Lo mejor que veo que se puede hacer, que tampoco es gran cosa, es esto:

Cogemos el resultado que llevamos por ahora, lo ponemos en una casilla auxiliar, triplicando su valor, agregamos un hueco a su derecha, un símbolo de multiplicar y un hueco, a esto le añadimos sumarle el triple del cuadrado del número que llevamos hasta ahora añadiéndole 2 ceros, lo metemos en un paréntesis, añadimos otro símbolo de multiplicar y otro hueco a la derecha. Ahora buscamos con qué cifra rellenar los huecos para acercarnos por debajo lo máximo posible al número obtenido en el paso 3. En nuestro, como el número obtenido hasta ahora era 3, obtendríamos lo siguiente:

\[(9\_\times\_+2700)\times\_.\]

Es fácil comprobar que hacer este paso es exactamente lo mismo que lo que queremos hacer en este paso. Si no os queda claro, echad un vistazo a lo que se hacía en la raíz cuadrada. Me gustaría saber si antiguamente se escribía de alguna otra forma o si de hecho directamente atacaban esta parte sin escribirlo de ninguna forma en especial. En cualquier caso, esta expresión no va tan mal, como tenemos que acercarnos a 7792, pues claramente no puede ser 3 ya que 2700\times 3=8100 que se pasa y tiene toda la pinta de que vamos a tener que usar el 2. Y ciertamente nos sale:

\[(92\times 2+2700)\times 2=5768.\]

De 7792 nos sobraría 2024.

Paso 5.- Volver al paso 3, es decir, restar el número obtenido en el paso 4 al obtenido en el paso 3 y bajar 3 cifras. Luego seguiríamos con el paso 3 y así hasta terminar con todas las cifras.

Como no tenemos más cifras que bajar, aquí habríamos terminado. Podríamos seguir sacando decimales bajando 3 ceros y así. Pero bueno, como creo que la idea queda clara, el ejemplo lo dejo hasta aquí. Hemos obtenido que la parte entera de la raíz cúbica de 34792 es 32 y lo que le falta al cubo de 32 para llegar a la cifra inicial es precisamente el último resto obtenido, es decir, 2024.

Bueno, una vez escrito, no me parece el método tan feo como me pensaba, aunque si llegamos a dar un paso más, las cuentas serían ya más complicadas. Por cierto, aunque me lo pidáis, no voy a explicar cómo se hacer la raíz cuarta, ni la quinta, ni ninguna otra, ¿eh?

En la wikipedia se puede encontrar explicado el mismo método que acabo de explicar pero sin tanto detalle (y sin intentar simplificar la expresión tal como he hecho), pero además aparecen otras formas. Hay una que llaman método de extracción de un número superior a 1000 y dos decimales, que me parece bastante feo así que no merece la pena explicarlo. Sin embargo sí que comentan una forma de hacer raíces cúbicas con calculadoras que pueden hacer raíces cuadradas que me parece interesante, así que lo incluyo aquí.

La raíz cúbica en una calculadora de mano que permite raíces cuadradas.

 

Este método, tal como se comenta en la wikipedia, se basa en la siguiente igualdad:

\[
\frac{1}{3} = \frac{1}{2^2} \left(1 + \frac{1}{2^2}\right) \left(1 + \frac{1}{2^4}\right) \left(1 + \frac{1}{2^8}\right) \left(1 + \frac{1}{2^{16}}\right) \dots\]

El método es el siguiente (aquí le hago una pequeña modificación)

  • Presiona el botón de raíz cuadrada, dos veces (en la wikipedia en este paso ponía una vez).
  • Presiona el botón de multiplicación.
  • Presiona el botón de raíz cuadrada dos veces.
  • Presiona el botón de multiplicación.
  • Presiona el botón de raíz cuadrada cuatro veces.
  • Presiona el botón de multiplicación.
  • Presiona el botón de raíz cuadrada ocho veces.
  • Presiona el botón de multiplicación...

Como veis, lo que vamos haciendo es pulsando cada vez el botón raíz el doble de veces (salvo en los 2 primeros pasos que se pulsa 2 veces). ¿Hasta cuando repetimos el proceso? Pues hasta que al pulsar las raíces las veces necesarias, en pantalla nos aparezca un 1 (seguir sería tontería porque el resultado ya no va a variar). Dándole al igual obtendremos la raíz cúbica que queríamos (con la precisión que nos permita la calculadora claro). Nota: en lo explicado por la wikipedia, habría que pulsar el botón raíz al terminar, aquí no hace falta por la variación del primer paso.

Para que no parezca mágico, os voy a explicar por qué funciona este método. Si nos creemos la igualdad que he puesto antes y os acordáis de operar con fracciones, no será complicado. El primer paso ha sido pulsar el botón raíz 2 veces. Eso nos daría la raíz cuarta del número inicial, lo que podemos escribir como:

\[x^(1/4).\]

Lo que se hace a continuación es multiplicar y darle 2 veces más a la raíz, por lo que estamos multiplicando el número anterior por su raíz cuarta, es decir, obtenemos

\[x^{\frac 1 4}\cdot\left(x^{\frac 1 4}\right)^{\frac 1 4}=x^{\frac 1 4}\cdot x^{\frac 1 {4}\cdot\frac 1 4}=x^{\frac 1 4+\frac 1 {4}\cdot\frac 1 4}=x^{\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{4}\right)}.\]

El siguiente paso es multiplicar este número por el que sale al aplicarle la raíz cuadrada 4 veces (es decir, la raíz 16):

\[x^{\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{4}\right)}\cdot\left(x^{\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{4}\right)}\right)^{\frac 1 {16}}=x^{\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{4}\right)}\cdot x^{\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{4}\right)\cdot\frac 1 {16}}=x^{\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{4}\right)\left(1+\frac 1 {16}\right)}.\]

Creo que no hace falta que siga. Lo que estamos haciendo es en cada paso añadir al exponente uno de los elementos del producto que hemos puesto en la igualdad inicial. Y el producto de arriba converge a 1/3, lo que hace que este proceso tienda a la raíz  cúbica de 3.

Métodos numéricos.

 

Para terminar voy a explicar algún método numérico para calcular la raíz cúbica. Bueno, en realidad voy a hablar un poco de métodos numéricos en general y aplicarlo al caso, pero en realidad nos servirá para calcular muchas otras cosas, como puede ser cos(0.3 radianes), ln(20), etcétera. ¿A qué me refiero por método numérico? Dicho sin mucha precisión, un método numérico es un método iterativo que nos va a ir acercando al valor que buscamos. En particular, lo visto en el método anterior es ciertamente un método numérico. Pero vamos a ver en este apartado algún otro método más general y en el que solo nos hagan falta sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Así podremos aplicarlos aunque nuestra calculadora no haga raíces cuadradas o incluso a mano. Bien, observemos primero una cosa, encontrar la raíz cúbica de 34792 es equivalente a resolver la ecuación

\[34792-x^3=0.\]

Así que si llamamos h(x)=34792-x^3, lo que tenemos que hacer es resolver la ecuación h(x)=0. Y resulta que hay métodos numéricos para resolver estas ecuaciones. Voy a construiros uno, sin demasiado detalle. Primero vamos a ver un método para resolver ecuaciones de la forma f(x)=x, y va a consistir en algo muy sencillo. Cogemos un número a cualquiera y vamos haciendo lo siguiente:

\[\begin{array}{ccc}f(a), & & \\ f^2(a) & = & f(f(a)),\\f^3(a) & = & f(f^2(a)),\\ \cdots & &\\f^n(a) & = & f(f^{n-1}(a)),\end{array}\]

es decir, vamos aplicando f a a varias veces. Con eso vamos consiguiendo una sucesión de números y si dicha sucesión tienda hacia un número b, se tiene que cumplir que f(b)=b y por tanto b es solución de $f(x)=x$ (esto es lo que se llama el método del punto fijo). Pero ¿cómo podríamos usar esto para resolver la ecuación h(x)=0? Pues en un principio una forma sería tomar $f(x)=x-h(x)$ y así se tiene claramente que si $f(b)=b$, entonces $h(b)=0$. Esto nos podrá servir para resolver este tipo de ecuaciones en algunos casos, pero lo cierto es que con nuestra función $h$ no nos a a ser útil ya que la sucesión que nos saldría no convergería a ningún punto. Pero sin embargo podemos probar con otras variaciones, por ejemplo podríamos tomar

\[f(x)=x-\frac{h(x)}{h'(x)}.\]

Usar el método del punto fijo con la función que acabamos de indicar es lo que se conoce como el método de Newton (sí, el mismo Newton de la manzana y la gravedad). Claro, para poder aplicar este método, vamos a necesitar saber derivar la función h, pero en nuestro caso va a ser así. Además este método se acerca bastante cerca a las soluciones, una vez que está suficientemente cerca, va doblando el número de cifras de precisión en cada paso. En el caso de nuestra función h veamos qué nos sale. Tendríamos que la función f a iterar sería

\[ f(x)=x-\frac{34792-x^3}{-3x^2}=\left(2x+\frac{34792}{x^2}\right)/3.\]

Como veis en cada iteración tenemos que hacer sumas, multiplicaciones y divisiones. Lo bueno de este método es que con pocos paso vamos a conseguir bastantes decimales. Probemos a ver qué nos sale. Voy a tomar de valor inicial el 40 ya que a ojo se ve que la raíz va a estar entre 30 y 40.

\[\begin{array}{ccc}f(40) & = & 33.91500000000000, \\ f^2(40) & = &32.69264548192496,\\f^3(40) & = & 32.64580332453657,\\ f^4(40) & = & 32.64573604830543.\end{array}\]

Si tenemos que cuenta que la raíz cúbica es 32.64573604816678..., podemos observar que en la primera iterada teníamos una cifra bien, en la segunda ya teníaos 3 cifras bien, en la tercera 5 y en la cuarta 11 cifras. Aunque con este método en cada iterada haya que hacer más cuentas que en cada paso del método explicado al principio, observad que aquí por ejemplo en el paso 4 hemos sacado 6 cifras nuevas de un solo golpe.

No voy a entretenerme en explicar cómo podríamos acotar el error cometido en cada iteración ya que solo quería mostrar este método como un ejemplo. De hecho podría seguir entreteniéndome explicando otros métodos numéricos con mejor convergencia o podríamos haber calculado la raíz cúbica usando desarrollos de Taylor, pero creo que con lo que he escrito ya es suficiente. La intención inicial era explicar solo el primer método, pero como iba tan de la mano de mi entrada anterior sobre la raíz cuadrada, pues simplemente quería mostrar que había otros métodos alternativos, que nos pueden venir mejor o peor dependiendo de las herramientas que podamos usar.

Y aunque el plazo terminase ayer, esta entrada es mi segunda aportación a la edición Edición 2.5 del Carnaval de Matemáticas siendo el anfitrión en esta ocasión el blog Juegos Topológicos, al que le agradezco que me haya dado permiso participar fuera de plazo.

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