¿Sabrías decirme en qué día de la semana naciste? Quizá te lo dijeran. ¿Y tú padre? ¿No? Pero... ¿sabes la fecha de su cumpleaños y año de nacimiento? Entonces podrías averiguar el día fácilmente con unos rápidos cálculos mentales. Que te dicen que un examen lo tienes el 28 de Junio, no hace falta mirar el calendario. Y eso os voy a explicar hoy, cómo podemos hacer esto.

Para impacientes, bajad hasta los 7 puntos en rojo, que ahí viene explicado cómo se hace directamente. Para los que en realidad les gusta entender las cosas, primero vamos a ir explicando los pasos.

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Para empezar, ¿sabéis cómo funciona el calendario? ¿Seguro que sabéis cómo funcionan los años bisiestos? Pues empecemos por ahí, que estoy seguro que muchos en realidad no lo sabéis. Como bien sabéis Febrero es un mes que tiene 28 días, salvo los años bisiestos donde el calendario es generoso y le concede un día más. ¿Y cuales son los bisiestos? ¿Los múltiplos de 4? Casi, casi, en realidad es más complicado. En realidad los bisiestos funcionan de la siguiente forma:

Los años bisiestos son aquellos que son múltiplos de 4 (o equivalentemente sus 2 últimas cifras forman un múltiplo de 4). Pero hay una excepción, y son los años múltiplos de 100 (sus dos últimas cifras igual a 0). Pero es que a su vez hay otra excepción a la excepción, si un año es múltiplo de 400 también es bisiesto (a pesar de ser múltiplo de 100).

Bueno, también hay que aclarar que a lo largo de los años ha ido cambiado el calendario, se han hecho ajustes (por ejemplo del 4 de Octubre de 1582 se pasó al 15 de Octubre), se ha cambiado el tamaño de los meses, etcétera. Por ello, nos vamos a centrar en las fechas posteriores a esta, nos vamos a explicar el método a partir del año 1600 (aunque vale a partir del 15 de Octubre de 1582). Bien, pues vamos a ir explicando cada detalle.

Observemos primero que cada año (no bisiesto) tiene 365 días. Como 365= 7\times 52+1 tendremos que de un año para otro, la semana avanzará un día. Es decir, si un año el 3 de Octubre cae en Jueves, al año siguiente (si no es bisiesto) caerá en 4 de Octubre. A su vez el año bisiesto hará que el día de la semana avance en 2. Por tanto para ver el desplazamiento de un año a otro basta contar el número de años intermedios (y sumar 1 por año) y ver cuántos 29 de Febrero hay entre las 2 fechas (sumando de nuevo 1 por cada).

Puf, pues 1600 (nuestra fecha de referencia) al día de hoy es un follón contar cuántos años bisiestos ha habido, y más aún con la regla de los múltiplos de 100 y de 400, ¿no? Bueno, tampoco es tanto. Observemos unas cosillas:

Cada 100 años, como 100/4=25 en un principio tendríamos 24 años bisiestos (quito uno por la regla de los 100 años). Esto será así mientras no lleguemos a múltiplos de 400. Como partimos de 1600 (que es múltiplo de 400) llegaremos a esta excepción justo cada 400 años. De hecho cada 400 años tendremos ahora 24\times 3+25=97 años bisiestos. Por tanto tendremos:

1.- Cada 400 años el calendario se desplaza 400+97=497 días.

2.- A partir de un múltiplo de 400, cada 100 años el calendario se desplazará 100+24=124 días.

3.- A partir de múltiplos de 100, el calendario se desplazará 1 día por año, y un día más por año bisiesto intermedio.

Pero observemos una cosa. Que se desplace el calendario 7 días, 14, 21, 28 o cualquier múltiplo de 7 es lo mismo que no desplazarse. Así que a estos números le podemos restar múltiplos de 7 para hablar de desplazamiento (por lo que constantemente podremos cambiar 24 por 3, o 19 por 5 o así, lo que indicaremos como que 19 y 5 son lo mismo módulo 7 que quiere decir que se diferencian en un múltiplo de 7). De hecho tenemos que 497=7\times 71 por lo que cada 400 años no hay desplazamiento alguno. Por otro lado, 124=7\times 17+5 por lo que cada 100 años hay un desplazamiento de +5 días, o lo que es lo mismo, de -2 días. Por tanto los 3 puntos expuestos antes se pueden simplificar así:

1.- Cada 400 años el calendario no tiene desplazamiento.

2.- A partir de un múltiplo de 400, cada 100 años el calendario se desplazará 5 días (o lo que es lo mismo, -2).

3.- A partir de múltiplos de 100, el calendario se desplazará 1 día por año, y un día más por año bisiesto intermedio.

Así que ¿cómo podemos calcular el desplazamiento desde el 1 de Enero de 1601 a por ejemplo nuestro año? Pues sencillo. De 1601 a 2000 no hubo desplazamiento alguno. De 2001 a 2013 han pasado 12 años (el 13 todavía no ha pasado entero), 3 de ellos bisiestos (ya que 12/4 es 3). Por lo tanto el desplazamiento que nos saldría es de 12+3=15, o lo que es lo mismo, hay un desplazamiento de 1 días (ya que 15=7\times 2+1).

Vamos a ver otro ejemplo que pueda ser más complicado, el año 1992. Pues bien, de 1601 a 1900 hay 3 periodos de 100 años por lo que hay un desplazamiento de 3\times 5=15 días, o lo que es lo mismo 1 día. Ahora, de 1901 a 1992 van 92 años, y como $92=4\times 23$, tenemos 23 años bisiestos (ojo, o 22 dependiendo de si contamos 1992 o no, ya veremos luego qué tenemos que hacer). Así que por múltiplos de 100 hay 1 día de desplazamiento. Por número de años hay 92 días, el 92 es muy grande así que le podemos quitar 70 que es múltimo de 7 quedándosos 22, pero 22=7\times 3+1 por lo que el desplazamiento por años desde 1900 sería 1. Por últmo, los 23=7\times 3+2 crearían un desplazamiento de 2. Por tanto el desplazamiento de la semana sería de 1+1+2=4 días.

Lo explicado hasta ahora son los cálculos más difíciles, aunque todavía no he llegado a explicar cómo los aplicaremos. Ahora veamos qué hacer con la fecha en la que estamos. Veamos cómo actúan los meses. Si el 3 de Enero cae en Martes, el 3 de Febrero caerá en viernes ya que Enero crea un desplazamiento de 3 días. Este desplazamiento lo crearán todos los meses de 31=7\times 4+3 días (que son Enero, Marzo, Mayo, Julio, Agosto, Octubre y Diciembre). Si el 3 de Enero fuese sábado, pues el 3 de Feberero será martes. Los meses de 30 días crearán igualmente un desplazamiento de 2 días, y por último Febrero no creará desplazamiento, salvo en años bisiestos. Lo mejor es que nos aprendamos una sencilla tabla con el desplazamiento acumulado de todos los meses en año no bisiesto (y si no nos la memorizamos, en unos segundos es fácil contar cuántos días tocará en cada mes, siempre que sepamos qué meses son de 31 días y cuales de 30):

Enero 0 (hasta que no pase Enero no habrá desplazamiento)
Febrero 3
Marzo 3
Abril 6 (mejor -1)
Mayo 1 (6+2=7+1)
Junio 4
Julio 6 (mejor -1)
Agosto 2
Septiembre      . 5
Octubre 0
Noviembre 3
Diciembre 5

Pues bien, sabiéndonos esta tabla (o deduciéndola si nos sabemos los días de la semana), y teniendo en cuenta que el 31 de Diciembre de 1600 era domingo (y por tanto el 1 de Enero de 1601 Lunes) podemos calcular el día de la semana de cualquier fecha con estos pasos (y lo aplicamos a la vez a nuestra fecha, 26 de Mayo de 2013).

1.- Nos acercamos a nuestra fecha por debajo con múltiplos de 400 (en nuestro caso, 26 de Mayo de 2013 llegamos a 2000).

2.- A partir del punto 1 nos acercamos a nuestra fecha por múltiplos de 100 y y añadimos 5 de desplazamiento por cada múltiplo. (en nuestro caso no hacemos nada por haber menos de 100 años).

3.- A las 2 cifras del año en el que estamos le restamos 1 y nos quedamos con el resultado, si dichas cifras son 00 nos quedamos con 99 (es decir,  en nuestro caso contamos los años de 2001 a 2013, 12). NOTA: como cada 28 años el calendario se repite podemos restarle 28, 56 u 84 al número obtenido, simplificando los cálculos.

4.- Dividimos el número anterior entre 4 quedándonos con la parte entera y lo sumamos a lo que teníamos (con esto contamos bisiestos, 12/4=3 así que nos quedamos con 12+3=15, como podemos restarle múltiplos de 7 nos quedamos con 1).

5.- Nos vamos a la tabla de meses y desplazamiento y el número correspondiente a nuestro mes se lo sumamos al número anterior (a Mayo le toca 1 por lo que nos quedamos con 1+1=2).

6.- Sumamos el día del mes en el que estamos (26+2=28, múltiplo de 7, por lo que nos podemos quedar con 0).

7.- Por último, si estamos en año bisiesto y el día es posterior al 29 de Febrero, debemos sumar uno (no es nuestro caso ya que 2013 no es bisiesto, así que finalmente nos quedamos con 0).

Y el número que nos queda lo convertimos en día de la semana, el 1 equivale a Lunes, el 2 a Martes, el 3 a Miércoles, el 4 a Jueves, el 5 a Viernes, el 6 a Sábado y el 7 a Domingo, aunque en el caso del 7 lo que tendremos en realidad es 0. Esto es así porque el primer día (a partir del 1600) fue Lunes y por eso al Lunes le cae un 1.

Por tanto hoy debe de ser Domingo ya que nos salía un 0. ¡Correcto!

Más Ejemplos:

Vamos a otro ejemplo, el 2 de Diciembre de 1980.

3 múltiplos de 100 desde 1600 (sumo 3\times 5=15 o lo que es o mismo, 1), a 80 le quito 1 y me queda 79  que módulo 7 es lo mismo que 2, lo sumo al 1 anterior y me sale 3. Divido 79 entre 4 y queda 19 con algo (20 sería 80/4), así que nos quedamos con 3+19=22 que lo reducimos a 1. Le sumo el 5 por Diciembre, el 2 por el día y 1 por ser 1980 bisiesto y ser fecha posterior a febrero y nos sale por tanto 1+5+2+1=9, que módulo 7 es 2. Por tanto el 2 de Diciembre de 1980 fue martes.

Observación: como el año (2 últimas cifras) era grande, quizá os pueda parecer cómodo aplicar la nota del punto 3: al 79 podríamos haberle quitado 56 quedándonos 23. Al dividir entre 4 nos quedaría 5 con algo que sumado al 23 sería 28, que al reducirlo se nos queda en 1. Luego ya sumaríamos el 1 anterior (de los 3 múltiplos de 100), el 2 por el día y el 5 por el mes quedándonos 9. Vosotros veréis si preferís usar la nota o no, depende de qué os resulte más sencillo.

27 de Marzo del 5734, una fecha lejana. Como 5600 es múltiplo de 400 (por serlo 56 de 4) partimos de este año. Hasta 5734 hay un múltiplo de 100 (sumamos 5), 34-1 es 33 (sumamos 33, o mejor 5), 33/4  es 8 con algo (sumamos 8, o mejor 1). Por el mes sumamos 3 y por el día sumamos 27 (o mejor restamos 1) y no estamos en bisiesto. Por tanto la suma que haríamos es 5+5+1+3-1=13=7+6 por lo que ese día será Sábado (salvo que vuelvan a variar el calendario para entonces).

OJO: tened en cuenta una cosa, si por ejemplo estuviéramos con el año 2000 no deberíamos de considerar que han pasado los 400 años (los 400 años habrían pasado al llegar al 1 de Enero de 2001) y habría pasado 3 múltiplos de 100.

De todas formas para el año 2000, para hacerlo más sencillo yo calcularía la misma fecha en 2001 y luego le restaría 1 al ir al 2000 (2 si estamos en Enero o Febrero). Estos truquillos de calcular una fecha posterior más sencilla y retroceder podéis hacerlos siempre si tenéis claro lo que tocará restar al retroceder. Ejemplos:

3 de Agosto de 2000. Calculamos con 2001. Por años nos saldría 0 (a partir del 2000 no nos separa más de 100 años y 1-1=0) por lo que directamente sumamos un 2 por agosto con el 3 dándonos 5. Por tanto para 2000 nos daría 4 así que el 3 de Agosto fue Jueves.

29 de Febrero de 2000. Pues lo mismo, para 2001 por años nos daría 0, así que sumamos el 29 con el 3 por Febrero y restamos 2 (por retroceder un año y estar en Enero o Febrero) quedándonos 30, restándole 28 nos queda 2 y por tanto fue martes.

Y con esto terminamos, como veis no es tan complicado. Hay que practicar un poco módulo 7 para ir simplificando los cálculos, pero en el fondo no es complicado.

PD: Esta entrada participa en la Edición 4.1231 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Matemáticas Interactivas y Manipulativas

 

 

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