Aquí os traigo un nuevo problema:

De la cuenta de deviantart de rattattart

Volvamos la vista a nuestra famosa isla de lógicos perfectos, pero situémosnos justo 15 años después de que la primera mujer llegase a esa isla. Pues bien, en cierta aldea de 100 habitantes llegó el día de la recaudación de la tasa para las próximas fiestas. Cuando el tesorero fue a por la recaudación total, se dio cuenta de que ¡había exactamente 200 rupias! Bastante curioso le pareció que hubiese el doble de rupias que de habitantes cuando de hecho las tasas que cobraron fueron de 3 rupias por hombre, 2.5 rupias por mujer y 0.5 rupias por niño (que obviamente pagaban los padres). Y entonces se dio cuenta de que no tenía ni la menor idea de cuantos hombres, mujeres y niños había en el pueblo, solo sabía que en total eran 100 y que todos los niños habían nacido en la isla. Y mientras pensaba en ello, decidió dar un paseo. Al salir a la calle vio a un chaval corroteando al que se acercó para preguntar...

- Hola chaval. ¿Sabes cuantos niños y niñas hay en la aldea?

- Hola señor. Uhm..., pues somos..., no, uhm... Ah no, no lo sé. Conozco a todos los que van al colegio, pero hay niños pequeños que todavía no van y no lo sé.

- Y ¿no sabrás el número de hombres adultos o mujeres del pueblo?

- No, no lo sé tampoco. Conozco a muy pocos adultos.

- Bueno, gracias de todas formas. Oye, otra cosa, bueno, al menos sí podrías decirme cuántos hermanos tienes, ¿no?

- ¿Es que no lo sabe? Resulta que tengo el mismo número de hermanos que cualquier otro niño y niña de la aldea, y todos los hermanos en el pueblo son puros, tanto por parte de padre como de madre. De hecho todos los niños vivimos con nuestros 2 padres.

- Oye, ¡que con eso no me has dicho nada! ¿Todos tienen los mismos hermanos? Curioso. ¿No me puedes decir al menos si tienes muchos hermanos?

- ¿Y a cuantos se refiere con muchos? Para ser usted un lógico perfecto, no es que se exprese muy bien. En fin, le diré que entre mis hermanos y yo, somos en total un número de una cifra, jajajaja.

- Pues sí que me has salido gracioso. En fin, veo que no estás muy colaborador. Tendré que preguntarle a algún otro.

- Oiga señor. ¿Y para qué me está preguntando estas cosas?

- ¡Vaya un descarado que estás hecho! ¡Te burlas de mi y ahora me vienes con preguntas! Te lo voy a contar para darte ejemplo, a ver si así aprendes algo de respeto.

Así que el tesorero le contó al chaval todo lo de la recaudación y la pregunta que se había planteado. A lo que el chaval le contestó:

- ¡Ah! ¿Entonces es por eso? Pues ¡ahora sé la respuesta a lo que se estaba preguntando!

- Oye, pero dímelo y no corr...

Y dejando la frase a medias, se le dibujó una sonrisa en la boca .

¿Por qué sonreía el tesorero? Bueno, como esta pregunta no es muy objetiva ya que se podrían encontrar muchas razones, mejor añado otra pregunta... ¿Sabrías resolver el problema que se había planteado el tesorero sobre el número de habitantes de la aldea?

Y con esta entrada participo en la Edición 2.4 del Carnaval de Matemáticas, teniendo en esta ocasión de anfitriona a Carla con su blog seispalabras.

Y por último quiero comentar de donde he sacado este problema. Es una variación que le he hecho a uno que me contó un usuario de mi foro del cubo de rubik de nick ice, una variación aparentemente insignificante pero que creo que complica el problema y a la vez lo vuelve más interesante. Así que en un principio, en el momento de escribir esto, la solución no debería de estar en ningún otro sitio.

Imaginémosnos que el universo (o mejor dicho, un universo imaginario) se está expandiendo a una velocidad constante y que queremos enviar desde la Tierra una nave espacial que irá a velocidad constante en búsqueda del borde del universo. ¿A qué velocidad debería de ir nuestra nave para que consiguiera tal hazaña e incluso adelantase al universo?

Antes de proponer la solución voy a matizar algunas cosillas de este problema.

Lo primero es aclarar a qué nos referimos con velocidad constante tanto de la nave como del universo. Para el universo lo que voy a suponer es que es una esfera y que su radio varía con el tiempo de forma constante. Este va a ser el crecimiento. Y con la nave tenemos el problema de que para hablar de velocidad habría que considerar algún sistema de referencias. Y claro, si el universo se está expandiendo, dependiendo de por ejemplo qué astro cogiéramos de referencia, la nave iría a una velocidad u otra. Pues bien, para no complicarnos, vamos a tomar de referencia para la velocidad en cada momento lo que haya alrededor de la nave. Es decir, velocidad 0 significaría que la nave está parada aunque en realidad se estaría desplazando a la misma velocidad que se desplazasen los astros cercanos a esta en el movimiento expansivo del universo. Observad por cierto que como el universo se expandiría de forma uniforme, en un momento dado, los astros más lejanos al "centro" del universo se alejarían a una velocidad mayor que los que estuviesen cerca de dicho centro.

Nebulosa Helix (imagen del Hubble)

Ahora que han quedado claras las condiciones del problema, ¿qué velocidad creéis que le hará falta a la nave para poder en algún momento al extremo del universo?

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Hoy os presento el que posiblemente sea el teorema más evidente en matemáticas y a la vez increíblemente útil: el principio del palomar. El enunciado es muy sencillo, si tenemos una cantidad de n palomas guardadas en m palomares con m<n, por fuerza debe de haber al menos un palomar que contenga varias palomas.

¿Hace falta que lo demuestre? Creo que no, cualquiera tiene que ver que evidentemente es cierto. Se puede generalizar un poco más y decir que de hecho en algún palomar habrá por lo menos palomas donde representa el número natural que hay justo por encima de m/n. Se cree que el primer enunciado de este principio se debe a Dirichlet en 1834, aunque bueno, yo estoy seguro de que alguien se tuvo que dar cuenta antes de esto, ¿no creéis? Pero Dirichlet es del primero que se tiene constancia, al menos de forma rigurosa. Supongo que nadie dudará que el mismo principio sería válido si cambiamos palomas por cualquier otra cosa y palomares por otro tipo de recipiente. Vamos a ver ahora unos cuantos ejemplos de cómo aplicar este principio tan sencillo para obtener resultados que aparentemente no parecen triviales:
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Después de un parón debido a varios motivos, traigo hoy un nuevo problema. Es un clásico de puentes, pero vamos a plantearnos una versión algo más complicada. Aquí va el enunciado clásico:

Cuatro personas llegan a un río en la noche huyendo de sus persecutores. Afortunadamente, gracias al nuevo límite de 110Km/h, todavía tienen unos minutos de ventaja sobre estos. Pero se encuentran con que la única forma de cruzar el río es a través de un prehistórico puente. En una estimación rápida deducen que el puente no podría soportar el peso de más de dos de ellos simultáneamente. Por si fuera poco es de noche y solo disponen de una linterna que habrá que usar para poder cruzar ya que sin ella, debido a la precariedad del puente, ninguno sería capaz de cruzarlo en menos de media hora de forma relativamente segura. El más joven de los 4 cree que es capaz de cruzar el puente en tan solo un minuto. El hermano de este que también va en el grupo podría cruzarlo en 2. El más mayor no podría cruzarlo en menos de 5 minutos y el último que queda, debido a un accidente durante la huida, estima que sería capaz de cruzar en 8 minutos. ¿Cuánto tiempo necesitan para poder cruzar entre todos el puente?

Como decía, podemos complicar el problema más. ¿Cómo? Considerando más personas, podríamos considerar 5, 6, 7 o incluso más. ¿Y por qué no n personas? Pues bien, consideremos una cantidad arbitraria n. ¿Qué pasaría si el más rápido tardase 1 minuto en cruzar el puente, el segundo más rápido 2, el tercero 3 y así hasta llegar al más lento que tardaría n? ¿Cuánto será el tiempo necesario en este caso para cruzar?

Después de un descanso hoy retomo los problemas de lógica. Y como estaréis ya impacientes (o seguramente no) no me enrollo y os lo planteo directamente:

¿Es posible pintar un folio de tamaño estándar (A4) con tan solo 3 colores de forma que no haya 2 puntos del mismo color que disten exactamente 1cm? Si es posible... ¿cómo lo harías?

Imagen creada en photofunia.com

El enunciado original del problema en realidad es en un mapa infinito y bueno, en tal caso en vez de 1cm se puede tomar la distancia que se quiera. Aclaro que los colores no se pueden mezclar, es decir, que en el mapa aparecerán 3 colores, nada de mezclas de ellos, no podemos juntar el azul con el amarillo para crear un cuarto tono verde.

Esta entrada forma parte de la X Edición del Carnaval de Matemáticas que cuyo anfitrión, en esta edición, es el blog Francis (th)E mule Science's News

P.D. En breve retomaré las soluciones de los problemas ya planteados.

Aprovechando que se está terminando aquí en España el puente más largo del año, hoy os traigo un problema de puentes.

Un buen día un navegante encontró un archipiélago formado por 13 islas pequeñitas y bastante cercanas entre sí. Este archipiélago era un tanto peculiar ya que estaban todas unidas mediante puentes y en cada una de ellas había una mansión, si bien no había ni rastro de que alguien hubiese estado viviendo allí en un montón de años. Así que se dedicó a inspeccionar todas estas construcciones. Lo primero que tenía que ver era si todos los puentes estaban buen estado así que decidió cruzarlos todos a pie para observarlos mejor. La estructura de la isla y los puentes era la siguente:

Antes de comenzar la inspección decidió estudiar que ruta tendría que tomar ya que iba a hacer todo el trayecto a pie sin volver a usar el barco, y quería andar lo mínimo posible. Lo ideal sería conseguir recorrer todos los puentes sin tener que pasar por el mismo 2 veces. ¿Qué trayectoria deberá de tomar para no tener que pasar por un puente 2 veces? ¿O por el contrario será imposible?

Como siempre, la solución del problema la dejo para más adelante para que tengáis tiempo de pensar en él. Os recuerdo que para acceder a la categoría de problemas de lógica de este blog, simplemente tenéis que ir a la sección para pensar un poco.