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Otro problema de 3 puertas

Hoy mirando aleatoriamente viñetas de xkcd (página que recomiendo) me he encontrado con una viñeta que me ha hecho mucha gracia:

Esta viñeta está inspirada en un problema de lógica muy famoso, con 2 puertas y dos guardianes, uno que siempre miente y otro que siempre dice la verdad (y en este blog ya hemos plantado una variante más complicada), y curiosamente la viñeta me ha inspirado a mi un problema. Imaginemos que estamos en la situación de la viñeta, la describo para el que no entienda inglés:

Nos encontramos ante tres puertas, cada una custodiada por un guardián, guardianes por cierto muy peculiares, uno siempre dice la verdad, otro siempre miente y otro que apuñala a todo aquél que hace preguntas con truco (y desafortunadamente no sabes quién es quién).

Pues bien, eso es más o menos lo que dice la viñeta. Si conocemos este tipo de problemas nos imaginamos cómo seguiría.

De las tres puertas hay una que nos conducirá a la salvación y la otras dos a la muerte segura. Imagina ahora que puedes hacer una sola pregunta a uno de los guardianes (al que quieras, pero solo a uno), y tiene que ser una pregunta que se deba de responder con un sí o un no. ¿Qué estrategia seguirías para maximizar tus posibilidades de elegir la puerta que te llevará a la salvación?

Aclaraciones: No está muy claro qué significa "hacer preguntas con trampa", ¿no?, pero lo dejo un poco a vuestra interpretación (no me seáis tramposos, ¿eh?). Pero como ejemplo una pregunta con trampa sería "¿Qué contestaría tu compañero si le pregunto tal cosa?" y una pregunta sin trampa pues algo no rebuscado tipo "¿Es esta puerta la buena?". Elegid vuestra pregunta, si es una pregunta tramposa, ya sabéis que tenéis 1/3 de posibilidades de morir sin recibir respuesta. Además, como no se ha especificado, si haces una pregunta sin truco al guardia que te podría acuchillar, este te podría contestar con una verdad o mentira, no lo sabemos. Ah, y otra aclaración, en estos problemas, los guardianes en realidad nunca te impiden pasar por la puerta que elijas, vamos, que una vez tengas en mente qué puerta elegir, podrás pasar por ella.

Animaos a proponer vuestras soluciones, no he pensado mucho el problema y creo saber la solución, pero quizá alguno la pueda mejorar.

P.d. Vaya, hacía tiempo que no escribía por aquí.

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El problema de los impuestos y número de habitantes

Aquí os traigo un nuevo problema:

De la cuenta de deviantart de rattattart

Volvamos la vista a nuestra famosa isla de lógicos perfectos, pero situémosnos justo 15 años después de que la primera mujer llegase a esa isla. Pues bien, en cierta aldea de 100 habitantes llegó el día de la recaudación de la tasa para las próximas fiestas. Cuando el tesorero fue a por la recaudación total, se dio cuenta de que ¡había exactamente 200 rupias! Bastante curioso le pareció que hubiese el doble de rupias que de habitantes cuando de hecho las tasas que cobraron fueron de 3 rupias por hombre, 2.5 rupias por mujer y 0.5 rupias por niño (que obviamente pagaban los padres). Y entonces se dio cuenta de que no tenía ni la menor idea de cuantos hombres, mujeres y niños había en el pueblo, solo sabía que en total eran 100 y que todos los niños habían nacido en la isla. Y mientras pensaba en ello, decidió dar un paseo. Al salir a la calle vio a un chaval corroteando al que se acercó para preguntar...

- Hola chaval. ¿Sabes cuantos niños y niñas hay en la aldea?

- Hola señor. Uhm..., pues somos..., no, uhm... Ah no, no lo sé. Conozco a todos los que van al colegio, pero hay niños pequeños que todavía no van y no lo sé.

- Y ¿no sabrás el número de hombres adultos o mujeres del pueblo?

- No, no lo sé tampoco. Conozco a muy pocos adultos.

- Bueno, gracias de todas formas. Oye, otra cosa, bueno, al menos sí podrías decirme cuántos hermanos tienes, ¿no?

- ¿Es que no lo sabe? Resulta que tengo el mismo número de hermanos que cualquier otro niño y niña de la aldea, y todos los hermanos en el pueblo son puros, tanto por parte de padre como de madre. De hecho todos los niños vivimos con nuestros 2 padres.

- Oye, ¡que con eso no me has dicho nada! ¿Todos tienen los mismos hermanos? Curioso. ¿No me puedes decir al menos si tienes muchos hermanos?

- ¿Y a cuantos se refiere con muchos? Para ser usted un lógico perfecto, no es que se exprese muy bien. En fin, le diré que entre mis hermanos y yo, somos en total un número de una cifra, jajajaja.

- Pues sí que me has salido gracioso. En fin, veo que no estás muy colaborador. Tendré que preguntarle a algún otro.

- Oiga señor. ¿Y para qué me está preguntando estas cosas?

- ¡Vaya un descarado que estás hecho! ¡Te burlas de mi y ahora me vienes con preguntas! Te lo voy a contar para darte ejemplo, a ver si así aprendes algo de respeto.

Así que el tesorero le contó al chaval todo lo de la recaudación y la pregunta que se había planteado. A lo que el chaval le contestó:

- ¡Ah! ¿Entonces es por eso? Pues ¡ahora sé la respuesta a lo que se estaba preguntando!

- Oye, pero dímelo y no corr...

Y dejando la frase a medias, se le dibujó una sonrisa en la boca :-) .

¿Por qué sonreía el tesorero? Bueno, como esta pregunta no es muy objetiva ya que se podrían encontrar muchas razones, mejor añado otra pregunta... ¿Sabrías resolver el problema que se había planteado el tesorero sobre el número de habitantes de la aldea?

Y con esta entrada participo en la Edición 2.4 del Carnaval de Matemáticas, teniendo en esta ocasión de anfitriona a Carla con su blog seispalabras.

Y por último quiero comentar de donde he sacado este problema. Es una variación que le he hecho a uno que me contó un usuario de mi foro del cubo de rubik de nick ice, una variación aparentemente insignificante pero que creo que complica el problema y a la vez lo vuelve más interesante. Así que en un principio, en el momento de escribir esto, la solución no debería de estar en ningún otro sitio.

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¿Podría una nave salir de un universo en expansión?

Imaginémosnos que el universo (o mejor dicho, un universo imaginario) se está expandiendo a una velocidad constante y que queremos enviar desde la Tierra una nave espacial que irá a velocidad constante en búsqueda del borde del universo. ¿A qué velocidad debería de ir nuestra nave para que consiguiera tal hazaña e incluso adelantase al universo?

Antes de proponer la solución voy a matizar algunas cosillas de este problema.

Lo primero es aclarar a qué nos referimos con velocidad constante tanto de la nave como del universo. Para el universo lo que voy a suponer es que es una esfera y que su radio varía con el tiempo de forma constante. Este va a ser el crecimiento. Y con la nave tenemos el problema de que para hablar de velocidad habría que considerar algún sistema de referencias. Y claro, si el universo se está expandiendo, dependiendo de por ejemplo qué astro cogiéramos de referencia, la nave iría a una velocidad u otra. Pues bien, para no complicarnos, vamos a tomar de referencia para la velocidad en cada momento lo que haya alrededor de la nave. Es decir, velocidad 0 significaría que la nave está parada aunque en realidad se estaría desplazando a la misma velocidad que se desplazasen los astros cercanos a esta en el movimiento expansivo del universo. Observad por cierto que como el universo se expandiría de forma uniforme, en un momento dado, los astros más lejanos al "centro" del universo se alejarían a una velocidad mayor que los que estuviesen cerca de dicho centro.

Nebulosa Helix (imagen del Hubble)

Ahora que han quedado claras las condiciones del problema, ¿qué velocidad creéis que le hará falta a la nave para poder en algún momento al extremo del universo?

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Principio del palomar, unos cuantos ejemplos prácticos.

Hoy os presento el que posiblemente sea el teorema más evidente en matemáticas y a la vez increíblemente útil: el principio del palomar. El enunciado es muy sencillo, si tenemos una cantidad de n palomas guardadas en m palomares con m<n, por fuerza debe de haber al menos un palomar que contenga varias palomas.

¿Hace falta que lo demuestre? Creo que no, cualquiera tiene que ver que evidentemente es cierto. Se puede generalizar un poco más y decir que de hecho en algún palomar habrá por lo menos \(\lceil\displaystyle{\frac{m}{n}}\rceil\) palomas donde \(\lceil\displaystyle{\frac{m}{n}}\rceil\) representa el número natural que hay justo por encima de m/n. Se cree que el primer enunciado de este principio se debe a Dirichlet en 1834, aunque bueno, yo estoy seguro de que alguien se tuvo que dar cuenta antes de esto, ¿no creéis? Pero Dirichlet es del primero que se tiene constancia, al menos de forma rigurosa. Supongo que nadie dudará que el mismo principio sería válido si cambiamos palomas por cualquier otra cosa y palomares por otro tipo de recipiente. Vamos a ver ahora unos cuantos ejemplos de cómo aplicar este principio tan sencillo para obtener resultados que aparentemente no parecen triviales:
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¡Cruzad! ¡Que se nos agota el tiempo!

Después de un parón debido a varios motivos, traigo hoy un nuevo problema. Es un clásico de puentes, pero vamos a plantearnos una versión algo más complicada. Aquí va el enunciado clásico:

Cuatro personas llegan a un río en la noche huyendo de sus persecutores. Afortunadamente, gracias al nuevo límite de 110Km/h, todavía tienen unos minutos de ventaja sobre estos. Pero se encuentran con que la única forma de cruzar el río es a través de un prehistórico puente. En una estimación rápida deducen que el puente no podría soportar el peso de más de dos de ellos simultáneamente. Por si fuera poco es de noche y solo disponen de una linterna que habrá que usar para poder cruzar ya que sin ella, debido a la precariedad del puente, ninguno sería capaz de cruzarlo en menos de media hora de forma relativamente segura. El más joven de los 4 cree que es capaz de cruzar el puente en tan solo un minuto. El hermano de este que también va en el grupo podría cruzarlo en 2. El más mayor no podría cruzarlo en menos de 5 minutos y el último que queda, debido a un accidente durante la huida, estima que sería capaz de cruzar en 8 minutos. ¿Cuánto tiempo necesitan para poder cruzar entre todos el puente?

 

Como decía, podemos complicar el problema más. ¿Cómo? Considerando más personas, podríamos considerar 5, 6, 7 o incluso más. ¿Y por qué no n personas? Pues bien, consideremos una cantidad arbitraria n. ¿Qué pasaría si el más rápido tardase 1 minuto en cruzar el puente, el segundo más rápido 2, el tercero 3 y así hasta llegar al más lento que tardaría n? ¿Cuánto será el tiempo necesario en este caso para cruzar?

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3 colores y una distancia

Después de un descanso hoy retomo los problemas de lógica. Y como estaréis ya impacientes (o seguramente no) no me enrollo y os lo planteo directamente:

¿Es posible pintar un folio de tamaño estándar (A4) con tan solo 3 colores de forma que no haya 2 puntos del mismo color que disten exactamente 1cm? Si es posible... ¿cómo lo harías?

Imagen creada en photofunia.com

El enunciado original del problema en realidad es en un mapa infinito y bueno, en tal caso en vez de 1cm se puede tomar la distancia que se quiera. Aclaro que los colores no se pueden mezclar, es decir, que en el mapa aparecerán 3 colores, nada de mezclas de ellos, no podemos juntar el azul con el amarillo para crear un cuarto tono verde.

Esta entrada forma parte de la X Edición del Carnaval de Matemáticas que cuyo anfitrión, en esta edición, es el blog Francis (th)E mule Science's News

P.D. En breve retomaré las soluciones de los problemas ya planteados.

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