Hoy os voy a hablar del cubo de rubik. Supongo que todos sabéis lo que es, ¿no? Ese cubo con pegatinas de colorines que podéis ver en la foto de la izquierda, que se puede mezclar y que parece imposible tratar de resolver. Parece ser que dicho juguetito se está poniendo de nuevo de moda y bueno, por mi parte tengo que reconocer que le he echado unas cuantas horas, incluso tengo una página dedicada a él, www.rubikaz.com, que tiene ya casi 10 años, creada cuando parecía que dicho cubo iba a acabar en el olvido. Más de una vez me ha pasado que alguien al verme con el cubo de rubik surge alguna conversación de este estilo:

— Pues yo una vez lo hice todo menos una pieza que estaba mal.
— ¿Que estaba mal? ¿Estaba girada o es que no estaba en su sitio?
— No, no estaba girada, es que no estaba en su sitio.
— ¿Pero había otra mal o solo esa?
— Solo esa.
— Pues no es posible ya que si esa pieza no estaba en su sitio, en el lugar donde debería de estar también habría una pieza que no estaba en su sitio, ¿no?
—...

También me han llegado a decir cosas como:

— Pues yo una vez conseguí resolver 5 caras.
— Uhm, pero ¿la sexta no la hiciste?
— No, la sexta no, solo me faltó esa.
— Pero entonces, si por ejemplo la cara que te faltaba era la roja, ¿dónde estaban las pegatinas rojas en el cubo? No podían estar en ninguna de las otras 5 caras porque si están resueltas tienen las pegatinas de su color, así que si haces 5 caras, la sexta sale sola.
—...

Eso sí, a veces la conversación empieza así:

— Pues yo una vez hice el cubo entero a falta de 2 piezas que tenía que intercambiar.
— Eso no es posible.
— ¿Por qué no es posible?
— Pues porque...

Y aquí ya depende. Si estoy hablando con un matemático por ejemplo, suponiendo que se acuerda de las nociones básicas del grupo de permutaciones, le podría decir:

—Pues porque al partir del cubo resuelto, tanto para mezclarlo como para resolverlo, cada vez que mueves una cara fíjate que la permutación de piezas es par (son dos 4-ciclos) y como la composición de permutaciones pares es una permutación par, la posición del cubo de rubik nunca podrá ser una permutación impar, como es el caso de tener 2 piezas intercambiadas.

Así que querido lector, si tienes las nociones suficientes, quizá con lo que acabas de leer te ha quedado totalmente claro por qué no se puede intercambiar 2 piezas en el cubo de rubik dejando el resto en la misma posición. Y si no, pues lo que acabo de decir te habrá sonado a chino. Si te ha sonado a chino no te preocupes, porque así le va a pasar a la mayoría de los lectores y por otro lado, esta entrada está dedicada a que lo entiendas, voy a explicar con todo detalle el motivo por el que no pueden quedarte solo 2 piezas a intercambiar en el cubo de rubik. Va a ser una entrada larga, pero os aseguro que va a ser totalmente comprensible.

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Recuerdo la primera vez que vi un scalextric, fue hace ya unos cuantos años y era un modelo sencillito, sin puentes ni carreteras que se crucen ni nada, sino absolutamente plano, vamos, como el de la foto. Y claro, antes de ponerme a jugar, mi mente que ya empezaba a ser algo matemática se hizo una pregunta... ¿Quién tiene ventaja? ¿Qué coche tendrá que recorrer menos en una vuelta? ¡Claro! Era una pregunta muy importante, podía ser que la victoria dependiense de ese detalle...

Imágen de la cuenta de flick de jesus.gil.hernandez

Bueno, pues mi conjetura por entonces era que la ventaja la tendría el del interior, pero no era capaz de comprobarlo, que era muy pequeño yo por entonces. Y lo cierto es que  no se me iba de la cabeza esa pregunta. Recuerdo cuando algo después vi el anuncio de un scalextric y en un momento dado había un cruce pasando el del interior al exterior y viceversa, con eso se solucionaba lo de la ventaja siempre que fuera un número par de vueltas, aunque entonces me preocupaba que los coches chocasen o no al cruzar...

De todas formas, mi cabeza por entonces iba más allá y ya no solo se preguntaba quién tendría ventaja sino incluso me planteaba si se podría diseñar un circuito para que ambos coches tuviesen las mismas posibilidades. Bueno, pues ahora que soy un poco más grande vamos a tratar de ver aquí qué pasa. Vamos a considerar scalextrics planos como el de la foto de arriba, es decir, sin puentes, cruces ni nada de eso.

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Imagínate la siguiente situación en un programa:

- Pregunte por la raíz cúbica de un número entre el 1 y el millón.
- Uhm... raíz cúbica de 673.456.
- 87
Y la respuesta se ha dado al instante. A continuación coge la azafata la calculadora, introduce el número en cuestión, pulsa el botón de la raíz cúbica y de golpe aparece 87,65 con lo que el público empieza a aplaudir ese increíble cálculo...

Pero... ¿realmente es tan increíble? Pues no, en este caso es simplemente una prueba de memoria. ¿Se ha aprendido de memoria la raíz cúbica de un millón de números? No, no, mucho más sencillo, se ha aprendido el cubo de tan solo 100 números, los 100 pirmeros, cosa que cualquier persona podría hacer. Y si sabes que el cubo de 87 es 658.503 y que el cubo de 88 es 681.472, como el número dicho está entre estos dos, pues la parte entera de la raíz (sin decimales) tiene que ser 87. ¿A que no es para tanto? Y bueno, con algún truquillo más, haciendo alguna cuenta no demasiado complicada se puede calcular algún decimal más. Continuar leyendo »

¿Habéis visto la "posiblemente mejor pregunta de estadística de la historia"? Lo cierto es que me ha sorprendido que haya dado tantas vueltas en internet, no lo entiendo. ¿Será porque en vez de escrito han puesto la foto de una pizarra? De hecho variándola un poco creo yo que daría más juego:

Si contestas al azar a esta pregunta, ¿cuál es la probabilidad de acertar?

a) 25%

b) 50%

c) 0%

d) 25%

Solamente he cambiado la opción c, en la pregunta tan famosa, ponía 60%. ¿Sabéis la respuesta a esta? Bueno, para no ser menos, voy a poner yo también la pregunta en una foto. Desgraciadamente la pizarra de mi despacho es de las blancas así que cuando no se haga famosa esta versión, podré culpar a mi pizarra!

Bueno, además de culpar la pizarra, puedo culpar a mi móvil por no tener flash, la mala iluminación en el momento de la foto y a mi fea caligrafía . Por cierto, la pregunta enlazada inicialmente la vi por primera vez en menéame.

Hace bien poco Tito Eliatron escribía en su blog una entrada sobre encontrar el centro de la circunferencia, y lo cierto es que nada más empezar a leer dicha entrada vino a mi memoria unos recuerdos de cuando iba al colegio, en los que de hecho descubrí algo sobre los maestros que la inocencia de un niño no ve.

Situémosnos temporalmente, como recuerdo a la profesora de entonces, yo tenía que estar en tercero, cuarto o quinto de EGB, vamos, que como mucho tenía 10 años. Y un buen día, entre los deberes que nos mandó la profesora para casa, una de las preguntas era que ¿cómo calcularíamos el centro de un círculo? Por entonces la primera respuesta que se nos ocurriría era fijarse muy bien en el folio para intentar ver la marca que había dejado el compás en el centro. Pero claro, aunque este método pudiera parecernos por entonces una maravilla, nos podía pasar que el círculo se hubiese dibujado usando por ejemplo el borde de una moneda de 50 pesetas (no había euros, no) y claro, aunque nos dejásemos los ojos en el intento, no lo íbamos a encontrar...

¿Cuál pensáis que debería de ser la respuesta esperada que teníamos que dar? Como os podéis imaginar, por entonces nos habían dicho lo que era un círculo y poco más. Posiblemente hasta nos habían contado lo que era y que la longitud del círculo es multiplicado por el diámetro. En fin, que empecé yo con mis reglas y mi compás a aplicar las pocas cosillas que sabía hacer por entonces: hacer rectas paralelas, perpendiculares, bisectriz, mediatriz y no sé si algo más. Y bueno, probando, probando llegué a la siguiente construcción, no sé si por intuición o simplemente de pura casualidad:

Lo que hacía primero era coger dos puntos cualesquiera de la circunferencia, en el dibujo el B y el C y calculaba la mediatriz del segmento que une dichos puntos. Recuerdo que la mediatriz es la recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio, aunque también se puede definir como el conjunto de puntos que equidista de los extremos del segmento. Una vez hecho esto me fijaba en el trozo de mediatriz que quedaba dentro de la circunferencia, que en el dibujo sería el segmento entre los puntos D y E. Por último volvía a hacer la mediatriz ahora al segmento D y E y el punto de corte era mi candidato a centro.

Como digo, creo que esta construcción fue casual, pero sin embargo estaba convencido de que funcionaba, que daba igual los puntos que cogiera inicialmente y que lo que salía efectivamente era el centro. Pero claro, mucho sería que por entonces además fuera capaz de demostrar formalmente que estaba en lo cierto. Pero vamos, simplemente por la simetría del dibujo tenía que ser así, veía claramente que la primera mediatriz dividía el círculo en dos partes iguales, de hecho si giraba todo el dibujo de forma que el primer segmento fuese horizontal, me quedaba más claro aún.

Antes de seguir con la historia, ahora que tengo algunos conocimientos más que antes, ¿puedo demostrar que la construcción era válida? Sí, de hecho es muy sencillo. Como la primera mediatriz es el conjunto de puntos que equidistan de los puntos B y C y el centro equidista de dichos puntos (está a una distancia igual al radio de la circunferencia), se tiene que el centro pertenece a dicha mediatriz. Por lo tanto el segmento que va de D a E es un diámetro y así su punto medio el centro de la circunferencia.

Sigamos con la historia. Pues bueno, al día siguiente la profesora fue de mesa en mesa viendo cómo habíamos hecho lo del centro de la circunferencia, mientras supongo que hacíamos alguna otra tarea. Su primera observación fue que la última mediatriz no haría falta sino que solo tenía que calcular el punto medio, y yo dándole la razón, porque pensaba que la mejor manera de hallar el punto medio era midiendo con la regla (pero de hecho es con la mediatriz). En fin, que tras verlo, ella misma preguntaba que por qué eso era el centro. Como yo no tenía argumentos para demostrárselo y ella tampoco, pues no me lo consideró como bueno.

¿Y cuál era su método? Pues resulta que... ¡no tenía! Resulta que el ejercicio lo había propuesto la profesora del otro grupo, ya que aún siendo grupos distintos, hacíamos exactamente las mismas tareas, por lo que nos dijo que tenía que hablar con la otra profesora. Pues bien, rato después, no sé si tras el recreo o tras nuestra hora de inglés con lo que ella libraba una hora o qué, volvió la profesora a clase teniendo la solución, pero justo antes de que pudiera decirla me vino la inspiración y dije:

- ¿Doblando el folio?

¡Pues sí! ¡Ese era el método! Doblabas el foro haciendo coincidir las dos mitades del círculo que quedaba, viendo el folio al trasluz claro, y con ello quedaba marcado un diámetro justo por donde se ha doblado el folio y de allí ya se sacaba el centro. Y yo tan feliz porque ¡había conseguido un positivo!

Pero lo cierto es que todavía estaba convencido de que mi método anterior estaba bien. Cuanto más lo pensaba, más seguro estaba, a pesar de que la profesora no me lo diese por válido. Y precisamente ese día aprendí algo:

¡Los maestros no lo saben todo!

Con esta entrada participo en la la Edición 2.7 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog La aventura de la ciencia.

P.D. Iba a comentarle todo esto a Tito Eliatron en un comentario en su entrada, pero claro, ¡¡habría quedado un tocho demasiado largo!!

¿Conocéis algún chiste matemático? Alguno estarán pensando en el de "¿Por qué se suicidó el libro de matemáticas? Pues porque tenía muchos problemas". Pero, no, este no es un chiste totalmente matemático sino que es más bien un juego de palabras, me refiero a chistes en los que intervengan las matemáticas de verdad.

Pues bien, chistes matemáticos hay unos cuantos, pero algunos no son tan fáciles de pillar por culpa de que pueden ser necesarios ciertos conocimientos matemáticos. En fin, voy a contar algunos de ellos, tratando de profundizar en las matemáticas que hay detrás de ellos, aunque en algunos casos ciertamente no hará mucha falta. Las explicaciones más largas estarán en la parte final de esta entrada. Empiezo con uno que salió hace muy poco por este blog:
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