Camaleones de colores

En una isla separada del resto del mundo, evolucionó un tipo de camaleón especial. Al igual que el resto de camaleones, estos son capaces de cambiar de color (rojo, azul o verde), pero lo curioso en este caso es que no lo usan para camuflaje sino que su cambio de color se hacía de forma social. De hecho, cuando dos camaleones andaban juntos, siempre tienen el mismo color, parece ser que en cuanto se cruzan 2 de distinto color, estos se adaptan para coincidir. Y lo más sorprendente es que parece que hasta son educados, para no tener problemas con cual de los dos se cambian de color, siempre que se cruzan dos de distinto color, ambos cambian al tercer color. Sin embargo, cuando se juntan 3 camaleones o más, salvo que sean todos del mismo color, ninguno cederá a cambiar el suyo e incluso se pelearán hasta que solo queden en pie camaleones del mismo color.

Foto de la cuenta de Flickr de alcedofoto

Un día llegó a la isla un cazador de animales exóticos. Estuvo un tiempo observando estos camaleones y al final decidió capturar unos cuantos. Sabiendo que no era bueno juntar varios camaleones de distinto color los metió en 3 jaulas separadas. En la primera introdujo 5 camaleones verdes, en la segunda 11 camaleones azules y en la tercera 16 camaleones rojos. Pensó que los que mejor se venderían serían los camaleones azules así que se planteó cruzar los camaleones de 2 en 2 para que fuesen cambiando de colores y tratar de conseguir la máxima cantidad posible de camaleones azules. De hecho fácilmente podría conseguir tener 21 azules y 11 rojos ya que podría mezclar cada verde con uno rojo para obtener 2 azules.

¿Podrá conseguir más de 21 camaleones azules? ¿Cuantos? Y como en este blog nos gusta llegar hasta el final en estos problemas… si pudiese conseguir que todos los camaleones fuesen azules, ¿cuántos cruces necesitaría para ello? Y en caso de que no pueda… ¿podrá conseguir que todos sean de otro color? ¿De cuál? Y ya que estamos, ¿sabrías encontrar alguna forma de determinar a partir del número inicial de camaleones de cada color si será posible que todos cambien a un mismo color?

Ya sabéis, comentarios con solución en spoiler gracias. Pasado un tiempo pondré la solución.

P.D. Seguramente este es uno de los problemas más sencillos que he puesto hasta ahora en el blog, al menos es de los que más rápido he resuelto (y lo resolví con 17 años, vamos, que no se necesita ser matemático).

10 Responses to “Camaleones de colores”

  1. JF dice:

    [spoiler]Se pueden conseguir hasta 31 camaleones azules y no se puede llegar a la maxima cantidad porque uno de los tipo de color para formarlo es impar. Creo que para que se pudiera conseguir el total de un color, la cantidad de cada grupo inicial deberia ser par [/spoiler]

  2. Carlos dice:

    @JF
    Hola JF, tu solución no es correcta ya que

    [spoiler]
    si nada más empezar coges un camaleón verde y uno azul y los juntas se convierten en 2 rojos quedándote en total

    4 verdes
    10 azules
    18 rojos

    Como ves estos 3 números son pares así que según tú, a partir de ahí sí que podrían conseguirlo.

    Así que como puedes observar algo falla en tu razonamientos, tu razón no serviría para decir que no se puede.
    [/spoiler]

  3. Sote dice:

    [spoiler]

    1) Si Rojo = verde la solución es obvia.

    2) se trata de igualar Rojo = verde con combinaciones Rojo y Azul para obtener Verde ( el menor).

    De esta forma después de n combinaciones:

    5+2n verdes
    11-n azul
    16-n rojo

    Hasta:

    5+2n=16-n
    3n=11
    n=3.6666… <4

    Entonces despues de 4 combinaciones:

    5+8=13 verdes
    11-4=7 azul
    16-4=12 rojo

    3)De acá solo quedan combinar verdes con rojos para dar azul.

    Quedando:

    13-12=1 verdes
    7+24=31 azul
    12-12=0 rojo

    Que es la máxima.

    4)Creo entonces que para que todos se puedan convertir, los que no se convierten deben sumar un múltiplo de 3.

    Es decir, condición:

    Rojo + Verde == 0 (mod 3)
    [/spoiler]

  4. Carlos dice:

    Hola Sote, te has aproximado pero…

    [spoiler]
    Para justificar que no se puede te faltaría comprobar algo más. Partes de que combinando rojo y azul quieres obtener tantos verdes como rojos. Pero es que quizá podría pasar que después de combinar varios rojos con azules, luego combines algunos rojos más con verdes y algunos verdes con azules para conseguirlo.

    Y a falta de decirte si se puede o no, desde luego que la condición

    Rojo + Verde == 0 (mod 3)

    no vale. Ejemplo: si tuvieras 1 rojo, 2 verdes y 0 azules, es muy fácil comprobar que nunca podrías conseguir que todos fuesen azules (hagas lo que hagas siempre tendrás 2 de un color y el tercero de otro) y sin embargo 2+3 == 0 (mod 3)
    [/spoiler]

    Saludos

  5. Sote dice:

    [spoiler]
    Tienes razón.
    Supongo que mi solución es valida para:
    Azul – (Rojo + Verde)/3 > 0
    Cuando no cumple eso creo que se necesitan más combinaciones, supongo hasta tratar de volver a generar zules tratando de nuevo de igualar los otros, creo que así se enreda la situación.
    Voy a buscar una mejor forma.[/spoiler]

  6. Informaci�n de BlogESfera.com……

    Puedes valorar este post en BlogESfera.com haciendo click aqui….

  7. Sote·[GW] dice:

    [spoiler]

    Se puede cuando:

    Verde – Rojo == 0 ( mod 3 )

    La demostración no es muy larga

    [/spoiler]

  8. Carlos dice:

    @Sote·[GW]:
    Hola Sote. Tu respuesta es un poco parcial, no has incluido la prueba y no has especificado qué se puede, ¿todos azules? ¿todos de cualquier color? No hace falta que respondas que estoy seguro de a qué te refieres y que es correcto.

  9. Sote·[GW] dice:

    [spoiler]

    Si quieres ver el razonamiento que he hecho me avisas.

    Con respecto a la otra pregunta:

    ¿podrá conseguir que todos sean de otro color? ¿De cuál?

    5 camaleones verdes
    11 camaleones azules
    16 camaleones rojos.

    Se pueden convertir todos a rojos. ( 11-5 == 0 mod 3 )

    [/spoiler]

  10. Teclado dice:

    Tenemos en total 3 operaciones que podemos hacer, que llamaremos:

    A = Juntar 1 azul y 1 rojo para obtener 2 verdes.
    B = Juntar 1 verde y 1 rojo para tener 2 azules.
    C = Juntar 1 verde y 1 azul para tener 2 rojos.

    Podemos comprobar que éstas son conmutativas, da igual el orden en el que se hagan, por lo que podemos agruparlas y expresar la operación general como A^k B^l C^m (aplicar C m veces, B l y A k). Si en algún momento nos quedamos sin camaleones de algún color podemos reordenarlo de la forma adecuada para obtener los necesarios.

    Además puede verse que aplicar A y luego B (o viceversa) es equivalente a aplicar C una vez menos, lo mismo que pasa al aplicar B y C (como aplicar A una vez menos) o A y C (aplicar B una vez menos). Por esto en vez de aplicar C m veces se puede aplicar A k-m veces y B l-m, de modo que puede usarse una operación menos y la expresión general A^k B^l C^m queda como A^i B^j, donde i=k-m y j=l-m. Si i o j salen negativos se puede usar la anterior con m igual al menor de ellos.

    De este modo la operación que debe hacer el cazador es A^i B^j, realizando la transformación:

    v => v+2i-j
    a => a-i+2j
    r => r-i-j

    Donde v, a y r son, respectivamente el número inicial de camaleones verdes, azules y rojos. Como finalmente queremos que no queden verdes ni rojos y que todos sean azules queda el siguiente sistema de ecuaciones:

    -2i+j=v
    -i+2j=r+v
    i+j=r

    La tercera es la resta de la segunda menos la primera. Si se resuelve se llega a que:

    3i=r-v
    3j=2r+v

    Para que no sobren camaleones rojos ni verdes tanto r-v como 2r+v deben ser múltiplos de 3, y en nuestro caso no se cumple ninguna de estas condiciones, i queda 3+2/3 y j 12+1/3, por lo que el cazador tendrá que redondear estas cifras, mezclando 4 azules y 4 rojos y luego 12 verdes y 12 rojos para que le queden 1 verde, 31 azules y 0 rojos.

    Para quedarse sólo con camaleones azules el cazador tendría que hacer un esfuerzo y encontrar otros 2 camaleones verdes u otro rojo.

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