3 colores y una distancia

Después de un descanso hoy retomo los problemas de lógica. Y como estaréis ya impacientes (o seguramente no) no me enrollo y os lo planteo directamente:

¿Es posible pintar un folio de tamaño estándar (A4) con tan solo 3 colores de forma que no haya 2 puntos del mismo color que disten exactamente 1cm? Si es posible… ¿cómo lo harías?

Imagen creada en photofunia.com

El enunciado original del problema en realidad es en un mapa infinito y bueno, en tal caso en vez de 1cm se puede tomar la distancia que se quiera. Aclaro que los colores no se pueden mezclar, es decir, que en el mapa aparecerán 3 colores, nada de mezclas de ellos, no podemos juntar el azul con el amarillo para crear un cuarto tono verde.

Esta entrada forma parte de la X Edición del Carnaval de Matemáticas que cuyo anfitrión, en esta edición, es el blog Francis (th)E mule Science’s News

P.D. En breve retomaré las soluciones de los problemas ya planteados.

3 Responses to “3 colores y una distancia”

  1. Francis dice:

    Yo interpreto la pregunta como que no haya 2 puntos del mismo color con una distancia entre sí igual a 2 cm.

    Mi primer pensamiento fue que la solución era obvia, con teselas todas iguales, pero tras dibujarla en papel observé que estaba equivocado, el diámetro de cada tesela tiene que ser menor que 2 cm y la distancia entre teselas del mismo color mayor que 2 cm.

    Como decía Alfréd Rényi (aunque muchos lo atribuyen a Paul Erdös) “un matemático es una máquina que convierte café en teoremas.” Yo he necesitado el reposo de tomar un café tras la comida para lograr la respuesta.

    [spoiler]Es imposible hacerlo. Una demostración por contradicción es sencilla. Basta imaginar que ya se tiene la solución. Se dibuja un triángulo equilátero, sus vértices tienen colores diferentes. Se dibuja otro triángulo equilátero que comparta con el primero una arista, los vértices más alejados comparten el mismo color. ¿Qué pasa con todos los puntos separados dicha distancia de uno de estos vértices? Como los dos triángulos son arbitrarios, todos estos puntos deben tener el mismo color. Pero en una circunferencia de dicho radio siempre hay dos puntos separados una distancia menor que su radio (mayor que 2 cm por construcción). QED[/spoiler]

  2. Carlos dice:

    @Francis:
    Vaya, acabo de ver que puse 2cm cuando quería poner 1 (aunque da igual). En cualquier caso, tu respuesta es correcta, es el mismo razonamiento que habría hecho yo.

    Te edito el comentario para poner tu respuesta como oculta (usando la etiqueta spoiler).

    Un saludo.

  3. Dani dice:

    Emulando al compañero Francis, me he tomado unos cafés (añadiendo glucosa como complemento que aumente el rendimiento intelectual) , pero no ha habido manera. Abandono y espero impaciente que nos ofrezcas la solución.

    Ha sido todo un placer descubrir tu blog a través del Carnaval de Matemáticas.

    Un saludo

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