Os traigo la solución a esta entrada. Creo que en medio año habéis tenido tiempo de sobra para pensarlo, en los próximos días tengo pensado poner otras soluciones todavía pendientes (aunque varios están resueltos ya en los comentarios). Recordemos primero el problema:

En nuestra isla de los lógicos perfectos, un buen día un habitante le propone un juego a otros 2. El juego consistía en que a uno le iba a decir el producto de 2 números escogidos al azar del 2 al 9 (no necesariamente distintos) y al otro la suma de estos dos números y sin intercambiarse los datos, ver si conseguían adivinar los números iniciales. Como era de esperar, aceptaron el reto así que le comunicó el producto al que se llamaba Paco y la suma al que se llamaba Samuel. Y bien, esta fue la conversación que tuvieron después:

Samuel: No soy capaz de averiguar los números.

Paco: Yo tampoco.

Samuel: Ah, pues entonces ya sé cuales son.

Paco: Pues yo sigo sin saberlo.

Samuel: Jaja, ¡pringao! Aunque tengo que reconocer que es normal que no lo sepas.

¿Os imagináis la pregunta? Pues no es que cuales son los números iniciales ya que si se pudieran deducir, ¡Paco lo habría hecho que tiene más datos que vosotros y es más listo! Como os tengo que preguntar algo que sepa Paco, pues ahí va: ¿Qué número es el que le han dicho a Paco?

A continuación la solución así que si quieres seguir pensándotelo, ¡¡¡¡mejor no sigas leyendo!!!!

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En la última entrada hice una recopilación de demostraciones matemáticas fraudulentas del tipo 0=1. La verdad es que al final me salió más didáctico de lo que me pensaba, tras revisarlo me di cuenta de que esos errores en las demostraciones no eran tan infrecuentes, 3 o 4 de ellos me los encuentro en los alumnos a los que le doy clase al corregirles los exámenes. Quizá debiera plantearme hacer esas demostraciones en clase...

A lo que íbamos, Gabriel, al ver la entrada me ha comentado que conocía otra demostración distinta a las que puse así que aquí va. Para esta demostración necesitamos números complejos. Partimos de la relación de Euler:

Tomamos y se nos queda como

Aplicamos ahora logaritmos neperianos. Como el logaritmo neperiano es el logaritmo de base e, se tiene que . Por otro lado así que obtenemos que

Por último dividimos entre y vemos que

¿Encuentras el fallo? Si no, pincha en mostrar.

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Seguro que alguna vez habéis visto alguna demostración de esas de que 0=1. En particular si 0=1 se deduce fácilmente que a=b ya que si multiplicamos ambos miembros de la igualdad por b-a nos queda que 0=b-a. Evidentemente todas estas demostraciones son incorrectas, pero mucha gente no se da cuenta de los fallos que puede tener. Voy a hacer aquí una recopilación de 9 fallos que se pueden cometer (en realidad 10 ya que en el caso quinto se explica otro), mostrando una demostración con cada tipo de fallo. La octava me la he inventado yo mientras escribía esta entrada pero el resto son ya conocidas y pueden encontrarse en varias páginas web. Si se te ocurre/conoces alguna que cometa un error distinto a los que voy a describir, no dudes en comentarlo para que la incluya!!

Primera demostración.

Esta es seguramente la más clásica. Sea a=b=1. Entonces:

¿Encontráis el fallo? Si no, pincha en mostrar para verlo.

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Segunda demostración.

Veamos ahora que 4=5 (y restando 4 obtendríamos que 0=1).

¿Dónde está el fallo?

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Hoy os voy a enseñar a resolver la ecuación de segundo grado!!!! Ya, ya sé que todo el que haya estudiado un poco debería de saber (aunque sea de letras) resolverla con una formulita muy conocida, pero... ¿sabéis resolver dicha ecuación sin usar fórmulas? Por si alguno está perdido, las soluciones de la siguiente ecuación

es decir, los valores de x que cumple la igualdad se obtienen con la siguiente fórmula:

Pero ahora pregunto yo... ¿sabéis por qué esa es la solución? ¿Cómo se puede deducir? Alguno podrá decir que basta sustituir la fórmula en la ecuación y comprobar que realmente se cumple. Sí, cierto, pero lo que pregunto yo es ¿cómo pudo deducir alguien esta fórmula? ¿No se podría resolver con algunos cálculos sin necesidad de memorizar la solución?

Recuerdo cuando un profesor nos contó en clase que hace tiempo (no sé exactamente cuando) la ecuación de primer grado

se resolvía con la fórmula

Nos dijo que podía parecer un poco tonto memorizar la solución porque claro, basta con pasar la B a la derecha cambiando de signo y luego dividir ambos miembros de la igualdad entre A, pero lo mismo en un futuro puede pasar que la gente piense que es ridículo lo que hacemos en la actualidad de memorizar una fórmula para resolver la ecuación de segundo grado. La verdad es que no creo que esto pase, pero recuerdo que ese comentario se me quedó grabado ya que ¿cómo podemos resolver la ecuación de segundo grado si no es con la fórmula?
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Hace muchos años, cuando iba al colegio, en un programa de televisión llamado Hola Rafaella, entre otros concursos telefónicos había uno en el que competías con un miembro del programa en un juego en el que había que retirar palitos y el último en quitar perdía. Nadie ganaba nunca, pero yo por entonces encontré una estrategia ganadora. Como esto fue hace tiempo, los concursos telefónicos no eran todavía un fraude, de hecho el coste de la llamada era el de una llamada normal. Pero sin embargo no conseguí participar ya que mucha gente llamaba. Un tiempo después la gente fue descubriendo la estrategia ganadora por lo que el concurso no duró mucho y lo cambiaron por algún otro.

¿De qué juego se trataba? Pues descubrí tiempo después que dicho juego tiene nombre: el Nim. Las normas del juego son sencillas. Es un juego para 2 personas y se juega por turnos. Se parte de varios montones (usualmente los montones son filas) de fichas (las fichas suelen ser palitos) y en tu turno tienes que elegir uno de los montones y quitar tantas fichas como quieras de este montón y solo de este montón. El ganador es el jugador que consigue quitar la última ficha del juego. El número de montones y de fichas iniciales en cada montón es variable. Si no te ha quedado clara la explicación, aquí tienes un simpático monito con el que podrás jugar:

En una variante del juego se juega a que pierde el que coge la última ficha (como pasaba en el concurso). Esta variante no cambia mucho el juego ya que de hecho la estrategia ganadora va a ser prácticamente la misma. ¿Y cual es la estrategia ganadora? Si quieres sacarla por ti mismo no continúes leyendo.

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