Todos conocéis el tetris y estáis más que familiarizados con dicho juego. Pues bien, hoy voy a proponer un problema con una ficha del tetris.

Quizá la pieza más valiosa del tetris sea la T. Muchos opinarán que es el palo, pero si visitáis el link al final de esta entrada lo mismo cambiáis de opinión. Pues bien, vamos a jugar hoy con la T y solo con la T. Y no nos vamos a dedicar a hacer líneas sino que nos vamos a dedicar a hacer cuadrados grandes. Por ejemplo es fácil hacer un cuadrado de lado 4 cuadraditos usando solamente la T como podéis observar en el siguiente dibujo.

Y como somos muy curiosos nos podemos preguntar... ¿podemos hacer cuadrados de la longitud que queramos? Por longitud que queramos me refiero al número de cuadraditos  de cada lado. Está claro que de tamaño 1 o 2 no. Se ve fácil que de tamaño 3 tampoco. De tamaño 4 podemos como hemos visto arriba. Juntando cuadrados de tamaño 4 podemos hacer cuadrados de tamaño de lado 8, 12, 16, etc.

¿Podemos hacer algún cuadrado de longitud impar? No. ¿Por qué? Porque para ello necesitaríamos un número impar de cuadraditos, pero como las piezas que estamos usando tienen 4 cuadraditos cada una, el número total de cuadraditos que usaremos será siempre par.

Nos quedan muchos números por comprobar, 6, 10, 14, 18... ¿Podemos hacer cuadrados de tamaño de lado 6? ¿Y de tamaño 10? ¿Cuál será el primer n tal que podamos hacer cuadrados de tamaño 2+4n? ¿O no podremos nunca?

Como siempre, dentro de un tiempo prudencial, para que podáis pensarlo tranquilamente, daré la solución. Mientras tanto, ya tenéis un problema más para pensar un poco.

De regalo, podéis jugar al hatetris. Es un simple tetris pero con mala leche. No, no es que salgan piezas distintas, es todo igual salvo que no te avisa de cual es la siguiente pieza a salir y la elige para dificultarte la partida lo máximo posible. ¡¡¡Si superas las 5 líneas será todo un éxito!!

Como os había prometido, tras celebrarse la semana pasada la IV edición del Carnaval de matemáticas en la blogosfera de habla hispana, al ser el anfitrión de la misma, os traigo el resumen de lo acontecido a lo largo de esta semana.

Si no me he olvidado de nadie, en esta ocasión se ha escrito 33 entradas. He tratado de clasificarlas como he podido escribiendo un brevísimo resumen sobre cada una de ellas. Si alguno de los participantes no cree que su entrada esté incluida en la categoría que deba, me he equivocado al hacer algún resumen o directamente, no he incluido su entrada en esta lista, que no dude en hacérmelo saber que de inmediato me encargaré de subsanar cualquier error. Pues lo dicho, aquí tenéis la prometida lista repartida en 8 categorías:

Noticias de actualidad, no os penséis que las matemáticas están muertas

• Rafalillo en la entrada ¿Errores graves en las matemáticas? del Blog de Rafalillo critica (de forma negativa) un artículo reciente que afirma que las matemáticas son erróneas (obviamente el que escribió el artículo está totalmente equivocado).
• Elisa Benitez, en la misma red social del Carnaval nos informa del Día escolar de las matemáticas, que fue el 12 de Mayo.
• Javier Omar en su blog La covacha matemática nos anuncia la celebración de las olimpiadas Matemáticas centroamericanas y del Caribe: la recta final.
• En el blog Francis th( E ) mule nos cuentan que por fin está demostrada la existencia y unicidad de soluciones clásicas de la ecuación de Boltzmann tras 140 años de intentos fallidos.

Humor pero del fino, ojo

• En el blog de Tito Eliatron Dixit, en la entrada extraña igualdad métrica nos cuenta un chiste con un juego de palabras.
• Juan Pablo nos hace una prueba en su blog Juan de Mairena sobre la existencia de infinitos números compuestos. Obviamente este hecho no necesita ninguna prueba especial de trivial que es, pero en realidad lo que nos muestra es una gracia que entenderá aquél que conozca la prueba de Euclides sobre la existencia de infinitos números primos.

Problemas y acertijos, que nunca falten

• En Mates y más, José María Vázquez nos propone en Cuadrado de operaciones un problema típico de las revistas en el que tienes que rellenar unos huecos con signos de las 4 operaciones básicas para que se obtengan los resultados pedidos. A diferencia de las revistas donde no se tiene en cuenta la prioridad de los cálculos (productos y cocientes antes que sumas y rectas), aquí sí hay que tenerla en cuenta.
• En este blog, os propongo un problema titulado los enanos indecisos que resolveré más adelante para dar tiempo a que lo penséis.

Matemática en el mundo real/aplicaciones/experimentos, para que no se diga que las matemáticas no sirven para nada

• En Física en la ciencia ficción, Sergio L. Palacios se plantea la pregunta de Cómo captar la atención de una inteligencia alienígena dando como respuesta que quizá los mensajes enviados al espacio deberían de mandarse en el lenguaje más universal: las matemáticas.
• En El máquina de Turing , Javi Oribe nos explica que es posible  Ganar en juegos perdedores cuando los combinas de forma apropiada, lo que se podría llamar una nueva paradoja en el mundo de las probabilidades.
• En Matemáticas interactivas y manipulativas, Joaquín García nos enseña Matemáticas con pompas de jabón en 3D. En realidad  nos habla de las actividades con pomas de jabón en la VIII Feria de la Ciencia de Sevilla (aunque no lo parezca, las pompas de jabón son la respuesta a muchos problemas de optimización)
• También en Matemáticas interactivas y manipulativas, Joaquín García vuelve a hacer una entrada parecida a la anterior, pero ahora en 2 dimensiones: Matemáticas con pompas de jabón en 2D.
• En Sagankoo nos hablan de Teoría de catástrofes, es decir, las matemáticas detrás de sistemas que con la variación continua de un parámetro pueden sufrir cambios bruscos, como por ejemplo la gota que colma el vaso.
• En Experientia docet, César Torme con su entrada El amor no es suficiente: las matemáticas de las relaciones sentimentales le pone forma de ecuación al éxito de una relación sentimental. No os hagáis ilusiones, no nos explica nada que ya no sepamos sobre cómo tener éxito en estos campos.
• En Francis th( E ) mule, nos hablan de homología, redes de sensores inalámbricos y otras aplicaciones de la topología algebraica.

Historia/cultura matemática, que no somos de letras, pero nos esforzamos, oye

• En Sagankoo nos hablan del matemático Eudoxo, un punto de referencia ineludible para los matemáticos de la antigüedad.
• También en Sagankoo hacen una entrada sobre Etnomatemática, o lo que es lo mismo,  las prácticas matemáticas de grupos que fueran culturalmente identificables.
• En la red del carnaval,  Juan Martínez, crea una entrada llamada Matemáticos en la mancha Azarquiel, donde nos enseña quien fue el matemático manchego Toledano Azarquiel.

Imágenes/vídeos curiosos, tranquilos que no hay ninguna foto mía

• En Gravedad cero, Carlos nos quiere animar con su entrada Calculadoras musicales (e invisibles), donde nos enseña música sobre calculadoras y en cierto modo creada como si los instrumentos fuesen calculadoras.
• Juan Miguel Ribera, en su blog homónimo, nos muestra la sorpresa que se llevó hace poco al descubrir la Canción Pi en un anuncio de la televisión, vídeo incluido.
• En La covacha matemática, Javier Omar comparte con nosotros en Aportazo blogomatemático para la cuarta varios fondos de pantalla creados por él mismo de temática matemática.
• Tito Eliatron Dixit nos muestra en Triple Botella de Klein una fotografía de eso mismo, una triple botella de Klein.
• En Geometría dinámica Rafael, Miranda nos dibuja Variedades de la rosa polar.

Curiosidades matemáticas, buenas, bonitas y baratas

• En Apuntes matemáticos, Evaristo Rodríguez nos cuenta la historia Un matemático y su dentista en la que aparece una curiosidad matemática sencilla que puede sorprender a por ejemplo un dentista
• Juan de Mairena en Carnaval IV - Problem(it)a nos habla del  problema de conocimiento común. Haciendo un resumen, nos muestra que sin saber apenas nada se pueden hacer infinitas afirmaciones distintas.
• En Tierra a la vista, Ana de la Fuente nos enseña las matemáticas ocultas en el diseño de un Claustro medieval, entrada originalmente inspirada  en parte del contenido del libro Los pilares de la tierra.
• En el Blog en el que estáis ahora mismo, os hablo del mal uso de las calculadoras, en particular, de los grandes errores que nos puede dar la calculadora si no nos andamos con cuidado.
• En Gaussianos, Diamond pretende fascinarnos con El sorprendente poliedro de Császár.

Echando cuentas, para variar

• En Gaussianos, Diamond nos explica la solución de Arquitas al problema délico, que consiste en construir dos medias proporcionales entre dos magnitudes dadas.
• En Sentado en la trébede, nos enseñan las desconocidas matemáticas del mundo binario, ya sabéis, esas bajo las que operan los ordenadores.
• Tito Eliatron Dixit nos da una definición analítica del número Pi, aunque más que una definición, diría que nos muestra una forma de calcularlo mediante integrales.
• En Números y hoja de cálculo, Antonio Roldán hace un Viaje de ida y vuelta a la geometría obteniendo triángulos con lados y alturas de longitudes enteras
• En La aventura de las matemáticas, Jesús Soto nos muestra la prueba de Euler sobre la existencia de Infinitos primos. Esto ya había sido probado mucho antes por Euclides, pero eso no hace que la prueba deje de ser curiosa.

Todos sabemos lo que es una calculadora, el aparato ese que nos facilita tanto los cálculos pero que a la vez nos puede hacer ser incapaces de hacer una simple cuenta sin su ayuda. Sin ir más lejos he llegado a ver gente que al realizar problemas del colegio o instituto, realizan cualquier operación con esta, hasta un simple 1+1. Yo siempre he estado a favor de utilizar la calculadora lo menos posible, solo cuando no seamos capaces de realizar los cálculos o estos sean demasiados largos. Además, hay otro problema, ¡¡¡la gente no sabe utilizarla!!! Algunos dirán que ciertamente no saben usar todas las opciones de su calculadora científica, pero sí que les sirve para hacer muchos cálculos.

Y pregunto yo, ¿sabéis que la calculadora comete unos errores al hacer los cálculos? Claro, tiene una cantidad finita de cifras así que no nos puede dar el resultado exacto, pero sin embargo el error que se obtiene es muy pequeño... ¿Seguro? Ciertamente el error de una operación no suele ser muy grande, pero al ir realizándose varios cálculos, estos errores se pueden ir acumulando y que con unas pocas cuentas, el error sea enorme.

Veamos un ejemplo. Vamos a realizar una operación de la forma (1+a-1)b con a y b 2 números. Está claro que

pero sin embargo, la calculadora puede dar dos resultados muy distintos si aplicamos la expresión de la derecha o de la izquierda. Para comprobarlo, voy a usar una calculadora que tenemos todos a mano, google :

Para realizar estas operaciones con google basta con meter la operación en el cuadro de búsquedas y nos devolverá expresiones similares a las que salen en la imagen. Pues bien, en la primera operación nos tendría que dar

Como veis ya hay un error importante, aunque todavía conserva 3 cifras de precisión (si redondeamos a la tercera cifra nos daría lo mismo). Pero es que en la segunda operación debería de darnos

y la calculadora de google nos ha dicho que 0. El error en este caso no es que sea pequeño, es que es ¡¡¡enorme!!!

Podéis probar en vuestras calculadoras, donde dependiendo de cuanta precisión tengan, darán un resultado correcto, aproximado o totalmente distinto a lo que debería de dar. Con las calculadoras científicas que tengáis lo normal es que se cometa un error similar al que hemos mostrado aquí o incluso mayor. Si probáis con la calculadora que viene con Windows, los cálculos que hemos puesto serían exactos ya que tiene mayor precisión. Sin embargo, si cambiásemos en la segunda operación el por un y el por , veríamos cómo la calculadora de Windows nos devolvería el valor 0 y tendría que ser 1.

Ya veis, en estos ejemplos podemos hacer los cálculos a mano y de forma muy sencilla. Sin embargo, si confiamos en las todopoderosas calculadoras, el error que nos puede dar es enorme. ¿Nos podemos fiar entonces de las calculadoras? Claro que podemos, pero debemos de saber cuando. En este ejemplo el error se debe a que sumamos 2 números de tamaño bien distinto, tanto que para la calculadora uno es despreciable respecto al otro. Para terminar, cito la respuesta que me dio una alumna cuando le puse el mismo ejemplo en clase y vio que su calculadora falló:

Se me ha caído un mito.

Esta entrada forma parte del IV Carnaval de Matemáticas de la que tiene mi blog el honor de ser el anfitrión en esta ocasión.

Debido a la crisis que acechaba la zona, un grupo de 100 enanos se vio obligado  a abandonar el bosque en el que vivían. Después de todo, su olla donde guardaban el oro no era tan profunda como se pensaban y empezaba a ser difícil engañar a los campesinos con sus trucos de magia. Así que decidieron viajar al norte, donde según se decía, los bosques eran más grandes y frondosos, y los campesinos algo más estúpidos por lo que no sería difícil engañar a alguno que otro.

De la cuenta de Flickr de .:Adry:.

Al anochecer del octavo día de viaje, empezaron a divisar el mayor bosque que habían visto jamás, los recursos naturales iban a ser suficientes para poder vivir allí. Pero no todo iban a ser buenas noticias, en ese momento unas nubes impidieron divisar la luz de la luna, empezó a llover con mucha violencia y solo se veía algo cuando algún relámpago iluminaba el paisaje. Los enanos no lo dudaron y corrieron a ponerse a salvo en el bosque. Con tanta agitación se separaron aunque consiguieron reagruparse en 2 grupos. Cada uno de estos grupos acabó instalándose de forma independiente en 2 zonas separadas del bosque. Tiempo después y de forma casual, consiguieron ponerse en contacto ambas zonas. Al restablecerse el contacto, muchos enanos querían irse a la otra zona del bosque porque tenían más amigos allí, y otros sin embargo preferían quedarse en la zona en la que estaban porque tenían más amigos (o los mismos) en ese sitio. Como a los enanos tampoco les gustaban los cambios tan bruscos, tras una pequeña reunión decidieron hacer lo siguiente:

Cada día un enano (y solo uno) decidiría si quería quedarse donde vivía o trasladarse ese mismo día a la otra zona. El primer día lo haría el enano más viejo, después el segundo más viejo y así hasta que el día 100 elegiría el enano más joven (que tan solo tenía 84 años). Una vez pasados 100 días, se volvería a repetir el proceso durante otros 100 días, y así irían repitiendo el proceso hasta que todos los enanos decidiesen quedarse donde están. Así lo hicieron.

Si tenemos en cuenta que un enano decidirá cambiar de zona dependiendo de si en la otra zona tiene más amigos o no (si tiene los mismos, como le daría igual, se quedaría donde está), ¿llegarán a estar de acuerdo en algún momento todos los enanos?

Unas observaciones. La primera es que se da por hecho que si A es amigo de B, entonces B es amigo de A. La segunda observación es que para resolver este problema habrá que ver si la solución depende o no de la distribución inicial de los enanos y relaciones de amistad. Es decir, si por ejemplo todos los enanos fuesen amigos de todos (cosa que sería muy extraña porque son muy rencorosos, de hecho lo normal es que alguno no sea amigo de ningún otro) y una aldea es más numerosa que la otra, todos los enanos decidirían irse a la numerosa. Así que en este caso, el proceso pararía en los 100 primeros días. ¿Hay algún caso en el que usando este proceso no se pondrían de acuerdo nunca?

Como siempre, dejo el problema abierto y dentro de un tiempo pondré mi solución.

Esta entrada es mi primera aportación al IV Carnaval de Matemáticas de la que tiene mi blog el honor de ser el anfitrión en esta ocasión.