Recuerdo la primera vez que vi un scalextric, fue hace ya unos cuantos años y era un modelo sencillito, sin puentes ni carreteras que se crucen ni nada, sino absolutamente plano, vamos, como el de la foto. Y claro, antes de ponerme a jugar, mi mente que ya empezaba a ser algo matemática se hizo una pregunta... ¿Quién tiene ventaja? ¿Qué coche tendrá que recorrer menos en una vuelta? ¡Claro! Era una pregunta muy importante, podía ser que la victoria dependiense de ese detalle...

Imágen de la cuenta de flick de jesus.gil.hernandez

Bueno, pues mi conjetura por entonces era que la ventaja la tendría el del interior, pero no era capaz de comprobarlo, que era muy pequeño yo por entonces. Y lo cierto es que  no se me iba de la cabeza esa pregunta. Recuerdo cuando algo después vi el anuncio de un scalextric y en un momento dado había un cruce pasando el del interior al exterior y viceversa, con eso se solucionaba lo de la ventaja siempre que fuera un número par de vueltas, aunque entonces me preocupaba que los coches chocasen o no al cruzar...

De todas formas, mi cabeza por entonces iba más allá y ya no solo se preguntaba quién tendría ventaja sino incluso me planteaba si se podría diseñar un circuito para que ambos coches tuviesen las mismas posibilidades. Bueno, pues ahora que soy un poco más grande vamos a tratar de ver aquí qué pasa. Vamos a considerar scalextrics planos como el de la foto de arriba, es decir, sin puentes, cruces ni nada de eso.

¿Qué coche recorre menos distancia?

 

Recuerdo que de pequeño pensaba que tenía que ser el del interior, al menos en el scalextric que vi. Sin embargo en un scalextric hay curvas en los dos sentidos, es decir, en unas curvas uno de los dos coches irá por el interior de dicha curva y en otras curvas será el otro el que vaya por el interior. Así que quizá se podría diseñar algún circuito para que los dos coches recorrieran la misma distancia. ¿Será eso posible? Vamos a ver.

Antes de empezar vamos a fijar nuestro tipo de circuito. Será uno totalmente plano, y la separación de los carriles será siempre la misma y la denotaremos por D, sin cruces ni nada parecido. Además todas las curvas serán trozos de circunferencias, que de hecho creo que así es en el caso de los scalextric (o al menos antes). Además el circuito se recorrerá en el sentido de las agujas del reloj.

Bien, ahora al ir montando el circuito, además de las rectas iremos poniendo trozos de curvas, las curvas a derechas favorecerán al coche que va por el interior del circuito y a izquierdas favorecerán al coche que va por el exterior. Está claro que tiene que haber más curvas a derechas que a izquierdas ya que el circuito da una vuelta, en total 360º de curvas más hacia la derecha (está claro, pero demostrarlo no es tan fácil, pero confiad aquí en vuestra intuición).

¿Qué ventaja tiene el que recorre el interior de la curva? Pues bien, todos sabemos que si tenemos una circunferencia de radio R, la longitud de esta es

longitud = 2\pi R,

 

medido en la unidad que pongamos el radio. Ahora bien, no nos interesa la longitud de una circunferencia sino de un trozo de esta, digamos que de \alpha radianes, para el que no conozca los radianes, una vuelta de circunferencia son 2\pi radianes así que para pasar de grados a radianes se hace con una simple regla de 3. Pues también con una regla de 3, teniendo en cuenta que la longitud de la circunferencia equivale a $2\pi$ (o 360 grados) tendremos que la longitud de una curva de \alpha radianes y radio R es

\displaystyle \frac{2\pi R \alpha}{2\pi}=R\alpha.

 

Si el radio de la curva para el coche que va por el interior de esta es R, para el que va por el exterior será R+D y por tanto la longitud que recorre será

\alpha (R+D).

 

¿Cuánto recorre un coche más que el otro? Pues restando las expresiones anteriores obtenemos que la diferencia es \alpha D, vamos, que la ventaja es directamente proporcional al ángulo.

Observemos que esta diferencia no va a depender del radio de la curva, solo del ángulo que recorre esta. Por tanto, como el que va por el interior del circuito va a ir por el interior de las curvas durante 360º más que el otro, independientemente de cómo esté diseñado el circuito, su recorrido será menor, ¿cuánto? Pues exactamente

2\pi D.

Así que parece ser que tiene ventaja el que va por el interior!!! ¡Lo sabía! ¡Desde que era un pequeñajo siempre pensé que era así! Pero ¡ojo! ¿Seguro que tiene ventaja el del interior?

¿Quién tiene ventaja realmente?

 

Se nos ha olvidado tener en cuenta un detalle. Aunque ciertamente el que va por le interior recorre menos distancia, habría que tener en cuenta también que el que va por el exterior, al describir una curva de radio mayor, puede ir más rápido. Ante la pregunta quién tarda menos en recorrer la curva, la respuesta es que claramente el del interior, ¿por qué? Pues basta con ver a Fernando Alonso que suele tomar las curvas por el interior y no por el exterior. Eso sí, quizá ya la ventaja que consiga el del interior ya no sera proporcional al ángulo. Venga, vamos a verlo.

Lo primero, ¿cuál es la velocidad máxima que podría alcanzar el coche sin salirse de la curva? Pues bien, mientras mayor sea la velocidad, mayor será la fuerza que deberá de aguantar el soporte del coche para que este no salte. Supongo que influirán muchos factores, pero vamos a ir a lo sencillo, no vamos a considerar la aerodinámica de los coches, simplemente la fuerza necesaria para tomar una curva. Calculemos primero cuanto es dicha fuerza. Supongamos que un coche está dando vueltas a una velocidad V en un círculo de radio R centrado en el eje de coordenadas. Pues su trayectoria podría describirse con la siguiente función:

\displaystyle trayectoria = (R \cos\frac{V t}{R},R \sin\frac{V t}{R}),

 

donde por t indicamos el tiempo. Derivando la expresión anterior obtendremos la velocidad:

\displaystyle velocidad = (-V \sin\frac{V t}{R},V\cos\frac{V t}{R}),

 

y derivando de nuevo la aceleración:

\displaystyle aceleracion = (-\frac{V^2}{R} \cos\frac{V t}{R},-\frac{V^2}{R} \sin\frac{V t}{R}).

 

El módulo de la expresión anterior y por tanto la aceleración que tendrá que soportar el coche será

\frac{V^2}{R}.

 

Por tanto, si A es la aceleración máxima que el soporte del coche aguanta, la velocidad máxima será la que cumpla la siguiente ecuación:

A=\frac{V^2}{R},

 

y por tanto esta velocidad será

\sqrt{R A}.

 

Ahora bien, como la distancia que tenía que recorrer era R \alpha se tiene que el tiempo que tardará en recorrer dicha curva será

\displaystyle \frac{\sqrt{R}}{\sqrt{A}}\alpha.

 

Observad ahora el detalle, ahora sí que influye el radio de la curva, y como era de esperar el que va por el interior de esta (radio menor) tardará menos. ¿Cuánto tiempo le sacará de ventaja el del interior de la curva al exterior? Pues bien, este tiempo será ahora

\displaystyle \frac{\sqrt{R+D}-\sqrt{R}}{\sqrt{A}}\alpha

 

y esta cantidad sí que va a depender del radio, de hecho mientras mayor sea el radio de la curva, menor será la ventaja que saque el que va por el interior. Por tanto, podríamos diseñar un circuito en el que las curvas a izquierdas tengan un radio muy pequeño y las curvas a derechas muy grande, de forma que a pesar de que haya más curvas a derechas, la ventaja en las curvas a izquierdas sea tan grande que al final compense el ir por el exterior. Vamos, que podemos diseñar el circuito para que la vuelta óptima de cada coche sea la misma o para que tenga ventaja el que queramos de los dos, ya sea el interior o el exterior.

Nota: habría que tener algunas cosas más en cuenta. Aparte de que la aerodinámica de los coches hacen que pueda variar la resistencia del soporte, no he tenido en cuenta que al salir de las curvas cada coche tendrá una velocidad distinta y por tanto al principio de la siguiente recta el que iba por el exterior irá más rápido. En cualquier caso esto sería un punto a favor del que va por el exterior de la curva, lo que refuerza realmente la conclusión final. También habría que tener en cuenta que estamos hablando en todo momento de quien llega antes si hace una carrera perfecta (velocidad al máximo), habría que tener en cuenta que puede ser más difícil por un carril que por otro el acercarnos a esa perfección. En fin, si nos pusiéramos con todos los detalles, no terminaríamos nunca!

Con esta entrada participo en la Edición 2.9 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Que no te aburran las M@TES.

Y bueno, puesto que también estoy hablando de física aprovecho para participar en la XXVI Edición del Carnaval de la Física que se celebra este mes en el blog Cuentos Cuánticos.

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