¿Calculadoras humanas? Quizá no sea para tanto

Imagínate la siguiente situación en un programa:

- Pregunte por la raíz cúbica de un número entre el 1 y el millón.
- Uhm... raíz cúbica de 673.456.
- 87
Y la respuesta se ha dado al instante. A continuación coge la azafata la calculadora, introduce el número en cuestión, pulsa el botón de la raíz cúbica y de golpe aparece 87,65 con lo que el público empieza a aplaudir ese increíble cálculo...

Pero... ¿realmente es tan increíble? Pues no, en este caso es simplemente una prueba de memoria. ¿Se ha aprendido de memoria la raíz cúbica de un millón de números? No, no, mucho más sencillo, se ha aprendido el cubo de tan solo 100 números, los 100 pirmeros, cosa que cualquier persona podría hacer. Y si sabes que el cubo de 87 es 658.503 y que el cubo de 88 es 681.472, como el número dicho está entre estos dos, pues la parte entera de la raíz (sin decimales) tiene que ser 87. ¿A que no es para tanto? Y bueno, con algún truquillo más, haciendo alguna cuenta no demasiado complicada se puede calcular algún decimal más.

No voy a decir que todas estas calculadoras humanas no tienen grandes capacidades de cálculo. Todo lo contrario, las tienen y con creces, son capaces de hacer muchas operaciones básicas bastante rápido y además capaces de retener en la memoria los resultados de varios cálculos. Pero sí es cierto que muchas veces los cálculos no son tan complejos como puede parecer (como se ha visto en el ejemplo anterior) y lo cierto es que al menos para mi, en ocasiones es más interesante el "truco" que están usando que lo rápido que hagan el cálculo. Por si alguno ya está diciendo que todo esto es trampa, que conste que nosotros también hacemos este tipo de trampas, por ejemplo en vez de sumar muchas veces multiplicamos que es más rápido e incluso nos hemos aprendido en el colegio las tablas de multiplicar. El que otro se sepa tablas mayores no significa que sea un tramposo. En fin, no me voy a dedicar a contaros los trucos de los grandes maestros ya que en la práctica en muchas ocasiones hay que memorizar tablas, así que hay que dedicarle tiempo, pero sí algunos truquillos más sencillos que nos pueden permitir de cabeza hacer cálculos que no esperábamos:

Dividir (y multiplicar) por 5.

Este va a ser el caso más sencillo, sin que lo diga la mayoría ya estará pensando que podría ahorrarme comentarlo porque lo sabe todo el mundo, pero no es así. De hecho me sorprendió que la camarera de un restaurante no hace mucho no supiera cómo había sacado a lo que tocábamos cada uno en una cena de 5 personas. En fin, el método es sencillo:

Como 5=10/2, para dividir entre 5 basta multiplicar por 2 y luego dividir entre 10 (correr la coma).

Ejemplo: 43,20 euros entre 5 personas. Multiplicando por 2 sale 86,40 así que tocamos a 8,64 euros cada uno.

¿Y para multiplicar por 5? Pues lo contrario, dividir entre 2 y multiplicar por 10. Por ejemplo, si partimos del número 1234, al dividirlo entre 2 nos queda 617 por lo que el resultado de multiplicar por 5 será 6170.

Sí, quizá en el caso de multiplicar no mejoremos tanto como al dividir, pero ahí está el método. Obviamente, si sabemos dividir entre 5 sabremos dividir entre 50 (dividir primero entre 5 y luego entre 10 que es correr una coma), entre 500 y así.

Dividir (y multiplicar) por 25, por 125, por 625, etc.

Este caso se reduce al anterior ya que 25=5x5, 125=5x5x5 y así. Por tanto, si queremos por ejemplo dividir entre 25, solo debemos de dividir 2 veces entre 5, es decir, multiplicamos 2 veces por 2 (o una vez por 4) y corremos la coma a la izquierda 2 veces.

Ejemplo: Quiero dividir 3252 entre 25. Multiplicado por 2 es 6504 y multiplicado otra vez por 2 es 13008. Por tanto 3252 entre 25 es igual a 130,08.

Multiplicar por 9, 99, 999, 9999...

Sencillo, por cada 9 le añadimos un 0 al número en cuestión y al resultado le restamos el número original. ¿Esto por qué es así? Pues si vemos por ejemplo el caso de 999 tenemos que 999=1000-1 y por tanto

$x\cdot 999=x\cdot(1000-1)=x\cdot 1000-x$

y precisamente multiplicar por 1000 es añadir 3 ceros. Veamos un ejemplo:

$499\cdot 999 = 499000-499=498501.$

Elevar al cuadrado un número si conocemos el cuadrado anterior.

Simplemente tenemos que aplicar la siguiente fórmula:

$(x+1)^2=x^2+2x+1=x^2+2(x+1)-1.$

Por tanto debemos de multiplicar el número por 2, restarle 1 y sumarle el resultado al cuadrado del anterior. Por ejemplo, el cuadrado de 80 es 6400 (el cuadarado de 8 y añadimos dos ceros) y el doble de 81 es 162, por tanto el cuadrado de 81 es

$81^2=6400+161=6561.$

Ahora también podemos sacar el cuadrado de 82, puesto que sabemos el de 81:

$82^2=6561+163=6724.$

Multiplicar 2 números de dos dígitos que tengan el primero igual y que los segundos sumen 10.

Sí, es un caso un poco particular, pero ciertamente rápido. Tenemos que multiplicar el primer dígito de un número por sí mismo aumentado en 1, multiplicamos los 2 dígitos finales obteniendo un número de dos cifras (si fuera 1 cifra, añadimos un 0 a la izquierda) y ponemos ambos resultados uno al lado del otro. Veamos ejemplos:

Calculemos 57x53. El primer dígito es 5 y 5x6=30. Además 7x3=21. Juntando los 2 números nos da que el resultado será 3021.

Veamos ahora 81x89. Primero tenemos que 8x9=72 y por otro lado 1x9=9 (como necesitamos 2 dígitos lo ponemos como 09) así que el resultado final será 7209.

¿Por qué funciona esto así? Imaginemos que el dígito común es a y los otros dos son b y c. El primer número será por tanto 10a+b y el segundo 10a+c. Por tanto:

$(10a+b)\cdot(10a+c)=100a^2+10ac+10ab+bc=100a^2+10a(b+c)+bc=100a^2+100a+bc=100(a^2+a)+bc=100a(a+1)+bc$

donde hemos usado que b+c=10.

Multiplicar 2 números entre 10 y 19.

Una forma sería saberse las tablas de multiplicar del 1 al 2o en vez del 1 al 10. Pero si no nos las sabemos, podemos usar el siguiente truco. Primero sumemos al número mayor la unidad (el número de la derecha) del otro, le añadimos un 0 y le sumamos el producto de las unidades de ambos números. Por ejemplo para 15x17, sumamos 17 con 5 quedando 22, le añadimos un 0 quedando 220 y le sumamos 5x7=35 así que

$15\cdot 17=220+35=255.$

Podéis comprobar que esto funciona así de forma similar que hemos visto el caso anterior.

Elevar al cuadrado un número terminado en 5.

Eliminamos el 5 y multiplicamos el número que queda por si mismo más 1 y al resultado le añadimos a la derecha un 25. Obviamente si el número tiene muchas cifras nos costará más. Probemos por ejemplo con 125. Primero tendremos que multiplicar 12 por 13, que usando el apartado anterior será 13+2=15, añadimos un 0 y le sumamos 6 quedando 156. Ahora solo tenemos que añadir un 25. Por tanto

$125^2=15625.$

¿Esto por qué es así? Bien, si el número es de la forma 10a+5 tenemos que

$(10a+5)^2=100a^2+2\cdot5\cdot10a+25=100a^2+100a+25=100a(a+1)+25.$

Multiplicar un número de 2 cifras por 11.

Muy sencillo. Sumamos las 2 cifras y si nos da un número de 1 cifra lo ponemos entre los otros 2. Si da un número de 2 cifras ponemos la unidad entre las 2 iniciales incrementando en 1 la primera. Veamos un par de ejemplos.

Hagamos 63x11. Como 6+3=9 tenemos que

$63\cdot 11=693.$

Hagamos 86x11. Ahora 8+6=14 por lo que el número a poner en medio será el 4 y le sumaremos 1 al 8 quedándonos

$86\cdot 11=946.$

Os dejo que os penséis por qué esto se hace así, aunque no creo que tengáis mayor problema en daros cuenta. Bueno, y con esto creo que os podéis hacer una idea de cómo con algunos truquillos se pueden simplificar mucho algunas operaciones, haber hay muchos más, para operaciones más complicadas, pero en algún momento tenía que parar. Además también podemos combinar cosas de estas o por ejemplo que multiplicar por un número que termina en 0 es lo mismo que quitar el 0, multiplicar y añadirlo al final, etcétera. Como regalo os pongo algunos links para que probéis vuestra velocidad a la hora de realizar cálculos y así podéis poner en práctica estos truquillos y los que se os ocurran por el camino. Aunque pueda parecer imposible superar algunas pruebas, con un poco de práctica salen. Todos los que voy a poner los he conseguido hacer así que ¿por qué tú no vas a poder? Ahí van:

55 multiplicaciones de 1 cifra en 2 minutos.

100 multiplicaciones de 1 cifra por un número entre 10 y 19 en 3 minutos.

55 multiplicaciones de números entre 10 y 19 en 3 minutos (aquí podéis poner en práctica claramente uno de los trucos).

100 multiplicaciones de 1 cifra por un número entre 20 y 29 en 4 minutos.

55 multiplicaciones de números entre 20 y 29 en 5 minutos.

Cuadrado de los 50 primeros números en 4 minutos.

Las 10 primeras potencias de los 10 primeros números en 20 minutos.

Con esta entrada participo en la Edición 2.8 del Carnaval de Matemáticas cuyo blog anfitrión es Ciencia Conjunta

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