Zurditorium

Imaginémosnos que el universo (o mejor dicho, un universo imaginario) se está expandiendo a una velocidad constante y que queremos enviar desde la Tierra una nave espacial que irá a velocidad constante en búsqueda del borde del universo. ¿A qué velocidad debería de ir nuestra nave para que consiguiera tal hazaña e incluso adelantase al universo?

Antes de proponer la solución voy a matizar algunas cosillas de este problema.

Lo primero es aclarar a qué nos referimos con velocidad constante tanto de la nave como del universo. Para el universo lo que voy a suponer es que es una esfera y que su radio varía con el tiempo de forma constante. Este va a ser el crecimiento. Y con la nave tenemos el problema de que para hablar de velocidad habría que considerar algún sistema de referencias. Y claro, si el universo se está expandiendo, dependiendo de por ejemplo qué astro cogiéramos de referencia, la nave iría a una velocidad u otra. Pues bien, para no complicarnos, vamos a tomar de referencia para la velocidad en cada momento lo que haya alrededor de la nave. Es decir, velocidad 0 significaría que la nave está parada aunque en realidad se estaría desplazando a la misma velocidad que se desplazasen los astros cercanos a esta en el movimiento expansivo del universo. Observad por cierto que como el universo se expandiría de forma uniforme, en un momento dado, los astros más lejanos al "centro" del universo se alejarían a una velocidad mayor que los que estuviesen cerca de dicho centro.

Nebulosa Helix (imagen del Hubble)

Ahora que han quedado claras las condiciones del problema, ¿qué velocidad creéis que le hará falta a la nave para poder en algún momento al extremo del universo?

Bueno, está claro que si la velocidad de la nave fuese mayor que la velocidad de expansión del universo lo conseguiría finalmente. Si la velocidad de la nave fuese igual a la velocidad del universo, también, ya que a la velocidad de la nave habría que sumarle también la velocidad de expansión del universo en el punto donde se sitúe la nave, y con ello la nave se alejaría del centro del universo a mayor velocidad que el extremo del universo.

¿Y si la velocidad de la nave fuese menor? ¿Qué pasaría por ejemplo si la velocidad de la nave fuese 1000 veces menor que la velocidad de expansión del universo? Imaginemos que la nave está cerca del centro del universo. Esto haría que el universo al expandirse apenas empujara la nave. Por otro lado, su velocidad es mucho menor que la del universo, así que aunque la nave se separe del centro del universo, cada vez estaría más lejos del extremo del universo, por lo que parece ser que nunca podría alcanzar el extremo. ¿O sí podría? ¿Qué pensáis? ¿Habría alguna velocidad menor que la de expansión del universo que sería suficiente?

Solución al problema:

Bien, pues vamos a ver qué es lo que pasa. Esta vez soluciono directamente el problema ya que vamos a tener que echar mano de herramientas matemáticas de cierto nivel: las ecuaciones diferenciales. Animo a los que tienen algunos conocimientos en este campo a intentarlo por su cuenta antes de continuar leyendo.

Vamos a abordar el problema con datos genéricos, para que sea lo más general posible. Llamemos a la velocidad a la que irá la nave, la velocidad del universo y el radio del universo en el momento en el que la nave comienza su viaje. Además vamos a imaginar que la nave despega exactamente del centro del universo (para que esté lo más lejos posible del extremo). Vamos a llamar la distancia a la que se va a encontrar la nave en el momento del centro del universo (siendo el instante el de despegue de la nave). En un principio podríamos pensar que

pero esto no va a ser cierto, ya que la velocidad a la que se separará la nave del centro del universo no será sino que será más la velocidad a la que se desplace el punto del universo en el que se encuentra la nave. Lo que sí que va a ser fácil ver es el radio del universo en un instante t es

¿Y cuál será la velocidad del universo en el punto en el que se encuentra la nave en el momento ? En el instante la nave se encontrará a una distancia y por otro lado, el extremo del universo, que se encuentra a distancia se estará separando a una velocidad . Como la velocidad será proporcional a la distancia del centro del universo, con una simple regla de 3 tendremos que un punto situado a distancia será

Así que la velocidad total a la que se desplazará la nave respecto el centro del universo será la suma de esta expresión con . Por otro lado, la velocidad es precisamente la derivada de la posición por lo que tenemos que

La expresión que acabamos de obtener es una ecuación diferencial sencilla (lineal de orden 1) que debería de saber resolver cualquier persona que haya hecho una asignatura básica de ecuaciones diferenciales. Si resolvemos la ecuación, teniendo en cuenta además que obtenemos que

Ya tenemos la expresión que nos dice la distancia a la que está la nave del centro del universo. La nave estará en el extremo del universo cuando esta expresión coincida con el radio del universo en un instante . Tenemos entonces que ver si hay algún valor que haga que se de la siguiente igualdad:

Y efectivamene, si resolvemos la ecuación nos sale que

Con lo que obtenemos sorprendentemente que da igual cuál sea la velocidad de la nave. Por muy pequeña que sea esta o por muy grande que sea la velocidad de expansión del universo, ¡la nave siempre llegaría al final de este! Tanto como si va casi a la velocidad de la luz como si tan solo recorriese un milímetro al año. Pero claro, mientras más lenta vaya tardará muchísimo más. De hecho, aunque la nave fuese a la velocidad de la luz, tardaría en llegar al extremo del universo más que la edad actual de este (más de 14.000 millones de años).

Por cierto, a los seguidores del blog, ¿os habíais fijado en que este problema es la versión continua de un problema que ya explicamos?

¿Cuánto de real tiene el problema? Datos "reales" sobre el universo.

Aunque la intención de esta entrada era solo mostrar una curiosidad sobre un problema irreal y ya está avisado al principio que el universo sería ficticio, no me quedo tranquilo pensando que cualquiera se podría pensar que el problema podría ser real, así que para terminar con la entrada voy a hacer unas cuantas observaciones más realistas, hasta donde mi ignorancia me permita.

Primero hay que decir que efectivamente es cierto que el universo se está expandiendo. Y curiosamente, la velocidad de expansión ¡está aumentando! aunque por otro lado creo que se piensa que que el incremento de la velocidad de expansión está disminuyendo (vamos, que la segunda derivada de la velocidad es negativa). Así que en el planteamiento de nuestro problema es falso lo de que esté creciendo a velocidad constante.

Sin embargo, lo que sí es cierto es lo que hemos dicho de que la velocidad a la que se expande es proporcional a la distancia al centro. Bueno, concretamente lo que habría que decir es que la velocidad actual de expansión del universo es de 64 km por segundo por megaparsec, es decir, dos objetos alejados en un megaparsec se separarán 64 kilómetros cada segundo, dos objetos separados en 2 megaparsec se separarán el doble por segundo, es decir, 128 kilómetros.

Un inciso, si tenemos en cuenta la velocidad de expansión del universo y que una estimación del tamaño de universo de 2003 dice que el universo mide más (quizá muchísimo más) de 24 gigaparsecs, resulta que ¡¡los extremos del universo se separan a una velocidad mayor que la de la luz!! Parece ser que esto contradiría eso de que ningún objeto puede superar la velocidad de la luz. La explicación es algo así como que en realidad ningún objeto lleva esa velocidad sino que es el espacio el que se mueve así. En fin, que cuanto más leo de estas cosas, más ignorante me siento en la materia. Pero es que por otro lado, se sabe muy poco acerca de estas cosas y hay teorías contradictorias.

Lo segundo que tendríamos que comentar sobre el problema es que me imagino que conseguir que una nave fuera a velocidad constante sería algo muy complicado o incluso más bien imposible. Bueno, la primera ley de Newton en un principio nos diría que un objeto en movimiento permanece con velocidad constante mientras no se le aplique ninguna fuerza. Pero claro, nuestra nave se vería rodeada de multitud de fuerzas, por ejemplo las gravitatorias de planetas, estrellas o similares (o viéndolo desde el punto de vista de Einstein, el espacio está lleno de curvas). E incluso habría una fuerza de rozamiento debido al polvo estelar, en algunos sitios más denso, en otros menos, pero que estaría ahí frenándola. Y seguro que intervendrían un montón de factores más que no conozco e incluso algunas que todavía no conozca nadie.

Ah, y ahora que caigo, en el problema también supongo que disponemos de todo el tiempo que necesitemos para llegar. Pero es que hasta esto podría ser falso, hay teorías que dicen que el tiempo es finito.

En fin, que en realidad lo que he hecho ha sido simplificar en el enunciado mucho la situación real.

Esta entrada forma parte de la Edición 2.3 del Carnaval de Matemáticas que organiza en esta ocasión Los matemáticos no son gente seria. Y si me dejan, también formará parte de la Edición XVIII del Carnaval de Física que organiza en esta ocasión La aventura de la ciencia.