Hace unos meses propuse el problema de la bola de cristal casi irrompible. Resumiendo el problema consistía en esto:

Se disponen de 2 bolas de cristal y se quiere saber a partir de que piso de un edificio de 117 plantas se rompen. ¿Cuántas comprobaciones son necesarias hacer para descubrirlo? Aclaro que como solo disponemos de 2 bolas, cuando se rompa la segunda no podremos hacer más comprobaciones.

Para ver un enunciado más largo y bonito id a la entrada original.

Bien, voy a razonaros como llegar a la solución. Lo primero es observar que cuando nos quede una sola bola, lo único que podemos hacer es ir probando desde un piso superor al mayor desde el que sabemos que no se romperá ya que si por ejemplo supiésemos que no se rompe en el 54 y la tiramos y se nos rompe la última bola en el 56, no podremos saber si en el 55 se rompería o no.

Por lo tanto, si la primera comprobación se hace a altura n y se nos rompe la bola, como tendremos que ir probando desde el piso 1 hasta quizá el n-1 es posible que necesitemos n comprobaciones. Así que si nos bastara con n comprobaciones, está claro que la primera como mucho podrá ser en el piso n.

Ahora bien, tras la primera comprobación, suponiendo que la bola no se nos ha roto (ya que si se rompe tendríamos que probar desde más abajo), usando el mismo razonamiento del párrafo anterior, dado que nos quedan n-1 comprobaciones, podríamos subir como mucho n-1 pisos más así que la segunda comprobación se haría en el piso n+(n-1) o en un piso más bajo.

Si seguimos razonando igual, la tercera comprobación se debería de hacer en el piso n+(n-1)+(n-2) o uno inferior, la cuarta en el n+(n-1)+(n-2)+(n-3), la quinta…

Con esto en mente es fácil sacar ya la solución. Está claro que con 14 no podemos asegurar que podamos lograrlo ya que si resultase que la bola no se rompiese en ningún intento, llegaríamos como mucho al piso

14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=105<117

así que necesitaríamos más intentos. Sin embargo con 15 sí que podremos ya que

15+14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=120>117.

La estrategia sería:

-Probamos en el 15, si se rompe probamos en el 1, 2, 3, 4… hasta que se rompa.

-Si no se rompe en el 15, en el segundo intento probamos en el 15+14=29. Si se rompe ahora vamos probando en el 16, 17,…,28 (13 pisos) o hasta que se rompa.

-Si no se rompe en el 29, probamos en el 29+13=42…

Y así seguiríamos. Está claro que de esta forma encontraríamos el piso en a lo sumo 15 intentos.

En una isla separada del resto del mundo, evolucionó un tipo de camaleón especial. Al igual que el resto de camaleones, estos son capaces de cambiar de color (rojo, azul o verde), pero lo curioso en este caso es que no lo usan para camuflaje sino que su cambio de color se hacía de forma social. De hecho, cuando dos camaleones andaban juntos, siempre tienen el mismo color, parece ser que en cuanto se cruzan 2 de distinto color, estos se adaptan para coincidir. Y lo más sorprendente es que parece que hasta son educados, para no tener problemas con cual de los dos se cambian de color, siempre que se cruzan dos de distinto color, ambos cambian al tercer color. Sin embargo, cuando se juntan 3 camaleones o más, salvo que sean todos del mismo color, ninguno cederá a cambiar el suyo e incluso se pelearán hasta que solo queden en pie camaleones del mismo color.

Foto de la cuenta de Flickr de alcedofoto

Un día llegó a la isla un cazador de animales exóticos. Estuvo un tiempo observando estos camaleones y al final decidió capturar unos cuantos. Sabiendo que no era bueno juntar varios camaleones de distinto color los metió en 3 jaulas separadas. En la primera introdujo 5 camaleones verdes, en la segunda 11 camaleones azules y en la tercera 16 camaleones rojos. Pensó que los que mejor se venderían serían los camaleones azules así que se planteó cruzar los camaleones de 2 en 2 para que fuesen cambiando de colores y tratar de conseguir la máxima cantidad posible de camaleones azules. De hecho fácilmente podría conseguir tener 21 azules y 11 rojos ya que podría mezclar cada verde con uno rojo para obtener 2 azules.

¿Podrá conseguir más de 21 camaleones azules? ¿Cuantos? Y como en este blog nos gusta llegar hasta el final en estos problemas… si pudiese conseguir que todos los camaleones fuesen azules, ¿cuántos cruces necesitaría para ello? Y en caso de que no pueda… ¿podrá conseguir que todos sean de otro color? ¿De cuál? Y ya que estamos, ¿sabrías encontrar alguna forma de determinar a partir del número inicial de camaleones de cada color si será posible que todos cambien a un mismo color?

Ya sabéis, comentarios con solución en spoiler gracias. Pasado un tiempo pondré la solución.

P.D. Seguramente este es uno de los problemas más sencillos que he puesto hasta ahora en el blog, al menos es de los que más rápido he resuelto (y lo resolví con 17 años, vamos, que no se necesita ser matemático).

¿A quién no le ha llegado alguna vez un email advirtiendo de que hay un gran peligro en tal cosa o tal otra? Pues sí, esta es una de las pegas que tienen los emails. Como su envío es gratuito lo usan para enviar cualquier tontería. Peor que estos, son los emails de propaganda (en especial de pastillitas azules) que a más de uno le ha hecho cambiar la dirección correo electrónico cansado de que su bandeja de entrada sea bombardeada con estos correos, aunque afortunadamente existen tecnologías que filtran bastante bien estos correos.

Y bueno, los correos de propaganda al fin y al cabo aportarán algún beneficio al que los manda pero… ¿y los correos de advertencias? ¿Benefician en algo a los que los reenvían? Continuar leyendo »

Hoy dejo los problemas y las matemáticas a un lado y me meto un poco en la informática. Hoy os voy a recomendar que probéis Linux en vez de Windows. Sí, mucha gente dice eso, en internet hay tropecientas páginas de lo mismo. ¿Qué importa mi opinión? Pues que yo no soy un friki de la informática, soy un usuario normalillo, ni informático ni nada y si os recomiendo Ubuntu es porque quizá os facilite las cosas (bueno, si quieres jugar a juegos siempre es mejor Windows). Hay muchas distribuciones de Linux y yo os voy a hablar de Ubuntu que es la que he probado. No es que Ubuntu sea un Linux mejor que otros ya que el sistema operativo es el mismo, no confundáis. Empiezo a enumerar ventajas y después os cuento mi experiencia para que veáis por qué pienso así:

• Es un sistema operativo gratuito que puedes instalar en cualquier ordenador. No tendrás problemas de actualizarlo.
• Pide menos requisitos que Windows lo que debe de hacer que vaya todo más rápido.
• Es fácil de usar. Cuesta más adaptarde de Window XP a Window Vista o Windows 7 que aprender a usar Ubuntu.
• Por lo que se dice, funciona mucho mejor en la red, es más veloz.
• Se adapta a tu Hardware sin problemas, te busca los drivers necesarios en caso de no tenerlos.
• En un principio no necesitas antivirus, porque un virus para Linux es algo muy raro. Es más fácil que se infecte Windows aún teniendo antivirus que te pase lo mismo en un sistema Linux.
• Multitud de programas gratuitos con grandes compatibilidades con los programas exclusivos de Windows. Además parece que se organizan automáticamente bastante bien en el menú principal (no como en Windows que si no tienes cuidado se te crea un menú gigante).
• Puedes tener varios escritorios entre los que te puedes mover fácilmente.
• Instalar Linux no te hace renunciar a Windows, puedes tener los 2 sistemas instalados y elegir al arrancar el ordenador cual cargar.

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Os traigo la solución a esta entrada. Creo que en medio año habéis tenido tiempo de sobra para pensarlo, en los próximos días tengo pensado poner otras soluciones todavía pendientes (aunque varios están resueltos ya en los comentarios). Recordemos primero el problema:

En nuestra isla de los lógicos perfectos, un buen día un habitante le propone un juego a otros 2. El juego consistía en que a uno le iba a decir el producto de 2 números escogidos al azar del 2 al 9 (no necesariamente distintos) y al otro la suma de estos dos números y sin intercambiarse los datos, ver si conseguían adivinar los números iniciales. Como era de esperar, aceptaron el reto así que le comunicó el producto al que se llamaba Paco y la suma al que se llamaba Samuel. Y bien, esta fue la conversación que tuvieron después:

Samuel: No soy capaz de averiguar los números.

Paco: Yo tampoco.

Samuel: Ah, pues entonces ya sé cuales son.

Paco: Pues yo sigo sin saberlo.

Samuel: Jaja, ¡pringao! Aunque tengo que reconocer que es normal que no lo sepas.

¿Os imagináis la pregunta? Pues no es que cuales son los números iniciales ya que si se pudieran deducir, ¡Paco lo habría hecho que tiene más datos que vosotros y es más listo! Como os tengo que preguntar algo que sepa Paco, pues ahí va: ¿Qué número es el que le han dicho a Paco?

A continuación la solución así que si quieres seguir pensándotelo, ¡¡¡¡mejor no sigas leyendo!!!!

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En la última entrada hice una recopilación de demostraciones matemáticas fraudulentas del tipo 0=1. La verdad es que al final me salió más didáctico de lo que me pensaba, tras revisarlo me di cuenta de que esos errores en las demostraciones no eran tan infrecuentes, 3 o 4 de ellos me los encuentro en los alumnos a los que le doy clase al corregirles los exámenes. Quizá debiera plantearme hacer esas demostraciones en clase…

A lo que íbamos, Gabriel, al ver la entrada me ha comentado que conocía otra demostración distinta a las que puse así que aquí va. Para esta demostración necesitamos números complejos. Partimos de la relación de Euler:

Tomamos y se nos queda como

Aplicamos ahora logaritmos neperianos. Como el logaritmo neperiano es el logaritmo de base e, se tiene que . Por otro lado así que obtenemos que

Por último dividimos entre y vemos que

¿Encuentras el fallo? Si no, pincha en mostrar.

Mostrar ▼

El fallo está en la afirmación . Sí, es posible que os explicasen esto en el colegio/instituto/universidad, y a pesar de lo que os acabo de decir, no os engañaron. El problema está en cómo se está usando. Me explico:

La definición de logaritmo nos dice que el logaritmo en base a de un número c es b si . Así que por esta definición se tendría claramente que

ya que el logaritmo neperiano es el que usa de base el número e. La primera pregunta que tiene que hacerse uno es si esta definición está bien, es decir, si siempre habrá un que cumpla que y si es único. Pues bien, si a y c son números positivos se tendrá que sí existe un único número real cumpliendo dicha condición (se deduce de que la función es creciente y su imagen son todos los números positivos).

¿Y el problema entonces? El problema está en que existe un único número real cumpliendo eso. Pero si hablamos de números complejos la cosa cambia ya que no habrá un único que cumpla que sino que existirán infinitos!!!!! Por lo tanto cuando estamos trabajando con números complejos, la definición dada de logaritmo no tiene sentido ya que tendríamos infinitos valores para escoger. Esto hace que no sea válida la igualdad

cuando x es un número complejo ya que de hecho el primer miembro de la igualdad directamente no tendría sentido. Pero repito, esta igualdad, cuando nos limitamos a trabajar solamente con números reales, es totalmente cierta, así que no os sintáis engañados.

Así que ya sabéis, cuidado cuando se os amplíen vuestros horizontes, ya que las leyes que conocíais podrían cambiar!!!